亏损系统的时域随机响应分析

　　复模态分析是求解多自由度非经典阻尼系统随机响应的有力工具,在随机振动中起着重要的作用。近些年,时域复模态分析有了很大发展,对一些典型的平稳随机激励已得到响应的解析解[1~3]。建立在复模态理论基础上的随机响应分析是假定振动系统具有互异的特征根,即使有重根,也具有完备的特征向量系,即系统是非亏损的。但在实际中,如具有任意阻尼的系统、在非保守力作用下的动力系统及气动弹性振动系统等,有可能是亏损的,此时系统已不存在一个完整的独立特征向量系,一般的复模态分析需加以修正才能适用。文献[4]给出了亏损系统在平稳随机激励下,随机响应的谱矩阵及协方差矩阵的谱分析方法。但对平稳随机响应问题,时域法更为直捷,避免了由谱矩阵到协方差函数矩阵进行的积分。本文就采用时域分析,直接推导出响应协方差矩阵的解析表达式。

　　1　广义模态分析

　　考虑一N自由度具有非经典阻尼的线性时不变亏损系统,其运动微分方程可表示为

(1)

　　式中,m、k、c分别为系统的质量、刚度与阻尼矩阵,它们均为N阶实方阵,且假设m正定。f(t)为零均值的平稳随机过程,B为列向量。引入状态变量方程(1)可改写成

(2)

　　由特征方程|Mp+K|=0可确定系统的特征值pi,设系统有r(r<2N)个互异的特征值且不具有完备的特征向量系,为简便且不失一般性,设对应于每个相同的特征值pi只有一个阶次为mi的子若当块Ji,那么系统若当标准型为J=diag(J1,J2,…,Jr),系统(2)对应于pi的右广义特征向量及左广义特征向量由下式确定: [Mpi+ K] Ui1=0, [Mpi+K]TVi1=0,i =1,…,r; [Mpi+K] Uil=-MUil-1,[Mpi+K]TVil=-MTVil-1,l =2,…,mi。相应地系统(2)的右模态矩阵U及左模态矩阵为U=[ U11,…, U1m1,…, Ur1,…,Urmr]2N×2N, V=[ V¹1,…, V¹m1,…, V^r1,…, Vrmr]2N×2N。引入广义复模态变换y=Uz,系统(2)最终可化为能够最大程度解耦的方程:

(3)

　　方程(3)的广义脉冲响应函数矩阵为h(t)=eJt=diag[eJit],t>0,系统(3)的平稳解为z(t)

　　2　系统的随机响应分析

　　广义模态响应z(t)的协方差函数矩阵可表示为

　　一旦求得了广义模态响应的全部协方差函数矩阵Cz(τ)后,系统状态变量响应的协方差矩阵可通过广义模态变换求得,即有

　　2·1　白噪声激励

　　设系统(1)的激励f(t)为具有零均值的平稳白噪声,其协方差函数为Cf(τ)=E[f(t)·f(t+τ)]=δ(τ),式中δ(·)为Dirac delta函数,在此激励下广义模态响应协方差函数矩阵的元素为≥0,经过一系列推导,最终可得

　　这是大家已熟悉的结论。

　　2·2　滤过白噪声激励