一种分析具有局部非线性的多自由度动力系统动力特性的方法

　　1　引　言

　　具有局部非线性的动力系统在实际中经常遇到,特别是一些具有非线性结合面的动力系统,典型的例子是具有非线性轴承支承的转子动力系统。在这类系统中,虽然非线性自由度只占总自由度的很少一部分,但其决定着整个系统的动力特性,由于非线性动力系统的动力特性的复杂性,通常需要对其长时间的动力行为进行分析。

　　而对非线性动力系统进行长时间行为分析,需要花费大量的机时,同时由于自由度较多,需进行一些高阶矩阵运算,计算机舍入误差的影响,有可能导致数值不稳定。因此,很自然的想法是:设法通过数学变换以降低矩阵阶数,即对系统的自由度进行缩减。有许多学者根据线性动力系统的模态综合技术,发展了非线性动力系统的模态综合技术[1～3],其主要思想是将非线性因素放置方程右边,而方程左边保留为线性项,从而模态叠加方法可以应用,并由此产生了许多模态截取的方法[4～6]。应用这类方法,在分析系统的动力特性时,仍需要进行坐标变换,以确定在物理空间中的非线性因素。

　　本文的主要思想是将系统的自由度划分为线性及非线性自由度,依此对质量阵、刚度阵、阻尼阵作相应的分块处理,并将非线性自由度定义为界面自由度,线性自由度定义为内部自由度,然后确定固定界面主模态及约束模态。这种处理方法,将线性自由度转换到模态空间中,而非线性自由度依旧在物理空间中。

　　2　非线性动力系统自由度的缩减

　　不失一般性,选取具有多子结构、局部非线性的动力系统的第s子结构的运动方程为:

　　其中{g(t)}s为外载荷向量,{f({x},{x·})}s为交接面上的力向量。为叙述方便,在下面公式中s不写出。

　　根据系统的物理结构,如图(1),在子结构1中,含有大量的线性自由度,可以采用固定界面分模态综合法对其进行自由度缩减。

　　方程(1)的无阻尼自由振动方程为:

　　对于子结构1,取1′、1″处的自由度为界面自由度{xj},其它自由度为内部自由度{xi},并且界面自由度{xj}为非线性自由度。

　　1)固定界面主模态:在完全固定交界面上的位移条件下,求得的主模态。

　　其中[Mii]、[Kii]是N×N阶矩阵

　　由(2)式可得到N阶主模态[φN],并存在下列的正交性:

　　2)约束模态:在界面完全固定条件下,依次释放界面上的每个自由度,并令其取单位位移时,子结构所具有的变形位移模态。

　　其中　[Rj]是由界面附加约束力向量组成的矩阵。

　　根据定义,由式(3)可求出约束模态:[φj] =- [Kii]-1[Kij]

　　这样,就将线性自由度转换到模态空间中,而非线性自由度仍保留在物理空间中: