一维非均匀分布参数系统的渐近传递函数方法

　　非均匀分布参数系统作为一种优化结构在工程界有着广泛的应用,与此同时,新材料如复合材料、智能材料及其结构等的广泛应用,有些材料还内埋感应器与执行器,都使结构系统的非均匀特性进一步复杂化。由于非均匀分布参数系统对应的控制方程是变系数微分方程,数学上精确求解存在困难,对大部分问题都只能求得近似解。典型的近似方法有差分法,阶递折算法,精确解析法,直接法,Raylcigh-Schmidt逼近法, Bessel函数法[1],传递函数法[2], Frobenius法,有限元法[3],摄动法,传递矩阵法[4]和加权残数法[5]等。这些方法各有利弊。本文以一维非均匀线性分布参数系统为例,介绍了一种构造非均匀分布参数系统超级单元的方法。对由多个超级单元构成的复杂系统,可通过在每个超级单元的边界节点上定义广义力平衡条件,实现与其它超级单元的拼装。甚至还可以把本文介绍的方法看做是一种有限元新的形函数矩阵的构造方法,从而实现与有限元单元的无缝连接。最后通过传递函数法和摄动方法获得其高精度的渐近解析解。

　　1　一维非均匀分布参数系统超级单元

　　本文讨论在一个超级单元中只有一个变化的结构参数的非均匀系统。不失一般性,设一非均匀分布参数系统的结构形状如图1。考虑在x-y平面内的静力变形,单元的运动微分控制方程可写为

　　其中x0,x1是单元的边界结点,n是对x坐标的最高求导阶次,系数ak(x)计及了由于单元的几何变截面或材料非均匀而导致的各种非均匀特性的影响,f(x)是外力。

　　定义状态空间向量为:

　　则可将方程(1)写成状态方程形式

　　设该超级单元中有变化的结构参数为由于其在单元内的变化是有限的,可用如下的m+ 1项幂级数进行逼近

　　求解问题由方程(6)至(11)有了质的变化, (6)是一个变系数的微分方程,数学上求解难度很大,且难于形成规范的求解过程与表达式,而(11)则均为常系数微分方程组,数学上求解有较成熟的方法,从而降低了问题的求解难度。

　　2　定解条件的引入与传递函数解法

　　在边界x=x0,x=x1上定义如下的广义位移

　　其中

　　则关于ε的各次幂的方程的定解边界条件为:

　　其中

　　其中解的前两项为均匀分布参数系统在外载荷q(x,s)作用下动态响应问题的解析解,第三项体现了系统的非均匀特性对解的影响。当n充分大时,上述解是精确解的一个很好的近似。

　　在求得超级单元的解后,可在单元边界结点上定义广义力平衡条件,类似有限元法进行单元拼装,然后再代入整个结构系统的边界条件,求得系统的响应。具体方法请参见文献[7]。