同轴度误差的数模研究

    摘   要:根据国家标准中有关同轴度误差的定义,建立了任意空间位置回转表面同轴度误差的最小二乘数学模型,该模型的坐标原点可以任意选取,各离散采样点之间也不要求为等角度间隔#用计算机进行了仿真分析,结果表明:该模型具有理论的正确性和实际的可行性#在所建立的数学模型的基础上,采用四维无约束的最优化的直接算法,可求得符合最小条件的同轴度误差值#建立的数学模型既可用于三坐标测量机也可用于其他智能量仪测量零件的同轴度误差•

    同轴度误差对精密机器和仪器的性能有很大的影响,比较准确地求得同轴度误差值对保证和提高机械产品的质量十分重要#迄今为止,用半径测量法求同轴度误差的数学模型与算法已十分完善[1-4]#但数学模型成立的条件是满足安装偏心较小,采样点为偶数且等角度间隔采样#保证等角度间隔采样,在采用半径测量法时并不困难,但在使用三坐标测量机,采样值为直角坐标值时,保证等角度间隔采样是极其困难,也是极耗费时间与精力的[5-8]#因此,建立适用于直角坐标系的同轴度误差的数学模型,具有重要的理论意义和现实意义•

    1 数学模型

    将被测零件置于空间直角坐标系OXYZ中,零件轴线与OZ轴重合#对基准实际圆柱面取n个垂直OZ轴离散采样截面,在每个采样截面轮廓上又分别取m个离散采样点#令采样点为Pij(xij,yij,zj)(i=1,2,,, m;j=1,2,,, n)•对被测实际圆柱面取N个垂直OZ轴离散采样截面,在每个采样截面轮廓上又分别取M个离散采样点#令采样点为QIJ(xIJ,yIJ,zJ)(I=1,2,,,M;J=1,2,,,N)•

    1.1 基准最小二乘轴线

    图1为基准实际要素的第j个采样截面轮廓的示意图#图中Oj(aj,bj,zj)为最小二乘圆心,Rj为最小二乘圆半径#在每个采样截面轮廓上,点Pij(xij,yij)到Oj(aj,bj)的半径为

    点Pij(xij,yij)到最小二乘圆的半径方向的偏差为

    根据最小二乘法原理[9-10],有

    为得到关于待求量的显式表达式,为此须对式(2)进行线性化处理#即将式(2)在点Xj(aj,bj,Rj)附近的邻域内的点X0j(a0j,b0j,R0j)处作泰勒级数展开,并取一阶近似,即令

    则式(5)可改写为

    下面用矩阵最小二乘法求满足式(3)的ΔRj,Δaj和Δbj•

    由式(6)可知,数据的结构矩阵为

    正规方程组的系数矩阵为

    矩阵Aj为三阶对称方阵,

    则正规方程组的常数项矩阵为