基于力学基础的最小区域直线度误差凸包求解方法

        直线度误差是实际被测直线对理想直线的变动量,平面直线度误差的测量一般可分为2个步骤:一是实际直线对理想直线偏差的获取,二是直线度误差的评定.评定方法有最小包容区域法、最小二乘法和两端点连线法.在满足被测零件功能要求的前提下,可选择不同的方法评定直线度误差.缺省情况下,选择满足/最小条件0的最小包容区域法进行直线度误差评定.

    为了按最小区域法评定直线度误差,国内外的学者提出了多种方法.Murthy等[1]利用单纯型搜索法确定最小区域,该方法以最小二乘法作为搜索的起点,经过多次迭代后搜索终止;Anthony等[2]讨论了置换算法的理论基础,其本质上是基于几何方法的非线性规划方法;Carr等[3]将直线度和平面度评定非线性过旋转初始猜测的2条包容线来寻找最小区域,同时适用于直线度和平面度误差的评定;Suen等[5]提出利用神经网络确定最小区域直线度误差;Dhanish等[6]通过旋转直线求解最小区域直线度误差;Huang[7]针对数据量较大时算法效率降低的问题,提出一种不需完全构建凸包的直线度计算方法.已有的方法中,采用数学优化的方法居多,也有少部分方法采用了计算几何和智能算法,基于力学思想的直线度误差评定方法还未见报道.

    深入分析直线度误差评定问题的实质发现,直线度误差评定最小区域的搜索过程可以和力学中的平衡问题紧密结合起来,但该问题又不完全是纯力学问题,它的求解可借助计算几何的相关理论.因此本文提出一种以力学思想为指导,几何方法为求解方法的直线度误差评定方法.该方法可以得到直线度误差的最小区域解,并且具有直观和易于可视化等特点.

    1 直线度误差评定的数学描述

    最小区域法直线度误差评定问题的实质是找出包含所有数据点的相距最小的2条平行直线.设Pi(xi,yi), i=1,,,m,是二维空间里的1个包含有限个数据点的集合,表示采样得到的实际直线上的数据点.直线方程表示为

ax+y+b=0(1)

    设S(a,b)表示2条平行直线LU和LL之间的空间,其中,/U0和/L0分别表示/上0和/下0. LC表示到2条平行直线LU和LL距离相等的1条中心线,它是由数据点拟合而成的,其参数为a和b.2条平行直线LU和LL间的距离d,如果S(a,b)包含所有的数据点,即

    则最小区域直线度误差评定问题可表述如下最优化问题[8]

    直线度误差最小区域法评定的过程是用2条平行直线去包容实际直线,2条平行直线间的最小距离即为最小区域直线度误差.

    2 力学原理的基本思想