单纯形算法在圆度误差评定中的应用

　　圆度误差对精密机器和仪器的性能有重要影响,它是零件几何精度的重要指标.因此,比较准确地测量和评定圆度误差值对保证和提高机械产品的质量十分重要.为使圆度误差的评定符合最小条件[1],通常采用的方法有图解法和计算法.前者方法虽然设备简单,但评定结果受人为因素影响较大,适于精度不高的场合.后者方法评定精度较高,随着微机的普及,应用越来越广泛.国内评定圆度误差的算法很多,但这些算法的计算速度低而且精度只能达到预先设定的收敛精度[2],有的只适用于一些特殊情况.本文将在最小条件的基础上,采用有约束的最优化的方法,建立线性的圆度误差评定的目标函数和一系列的约束条件,并用单纯形法[3]求解,以求得在提高计算机结果的准确性和计算速度方面有所突破.

　　1 评定准则

　　按照形状和位置国家标准GB 1959-80的规定,圆度误差是指被测实际圆相对于理想圆的变动量.如图1所示.

　　当理想圆相对于被测定实际圆的摆放位置不同时对于同一被测实际圆也将得到不同的圆度误差值.即评定基准不同时,将得到不同的圆度误差值.按照理想圆相对被测实际圆的摆放位置不同,有四种不同的评定方法:最小区域圆法、最小外接圆法、最小内切圆法、最小二乘圆法.其中按最小区域圆法评定误差值最小,成为圆度误差评定发生争议时的仲裁方法.

　　按最小区域圆法评定圆度误差时,理想圆相对于被测实际圆的摆放位置应符合最小条件:包容被测实际圆作两个同心圆,且使所作的这两个同心圆之间的区域(或者半径差)为最小.构成最小区域圆的这两个同心圆的半径差就是该被测实际圆的圆度误差.用最小区域圆法对圆度误差进行评定时,对于包容实际圆的理想包容区域是否达到最小,要按下面的判别准则进行判别:两同心的包容圆与被测实际圆至少有内外交替四点相接触.

　　2 圆度误差数学模型

　　若实际轮廓上测量n个点,任一点Mi在以测量基准建立的坐标系中的坐标为(Xi,Yi),对测量中心的距离(半径)为:

　　设最小区域中心在以测量基准建立的坐标系中的坐标为Oc(X,Y),则任一测点Mi在由Oc建立的坐标系中的坐标为

　　且Mi对Oc的距离(半径)为:

　　若MA为最大半径点,Ma为最小半径点,则圆度误差值为

　　若采用极坐标测量法,则可以得任一点的极坐标值Mi(Ri,ωi),换成直坐标为:

　　3 目标函数及约束条件的建立

　　观察式(4),误差值函数为非线性的,如把它作为求解圆度误差的数学规划目标函数,其解法较困难,因而采用如下的变形,将其转化为线性模型.