基于有限元法的梁的机械阻抗研究

　　1梁的机械阻抗理论分析

　　(1)梁的横向自由振动

　　考虑一等截面梁的长度为l， 可得到其横向自由振动的偏微分方程

式中 E———梁的弹性模量;

　　I———梁的截面惯性矩;

　　ρ———梁的密度;

　　u(x，t)———梁的横向位移;

　　A———梁的截面积。

　　当梁在承受简谐激励力 f(x，t)=F(x)e^jωt作用时，梁上各截面处的稳态响应位移 u(x，t)必定也是同频简谐的，可设

　　B、C、D 均为常数，所以式(1)的偏微分方程的解为

式(6)即为梁在自由状态下的横向振动方程。

　　(2)梁的机械阻抗理论

　　在简谐激励作用下，被作用系统有位移阻抗/导纳、 速度阻抗/导纳、 加速度阻抗/导纳 3 种频响函数，在实际应用中，按照机电比拟，由于机械量(力和速度)可与电量(电压和电流)相比拟，因此，一般所谓的机械阻抗/导纳均是指速度阻抗/导纳。

　　对于位移导纳

　　本文针对等面积矩形截面悬臂梁的机械阻抗进行研究，如图1 所示，根据约束及载荷条件可知，在原点处的位移、转角均为 0，在梁的右端点处有激励力 f(l，t)=F(l)ejωt，弯矩为 0，即有

　　U(0)=0(原点处位移)

　　U′(0)=0(原点处转角)

　　U″(l)=0(梁右端弯矩)

　　EIU″(l)=F(l)(梁右端剪力)

　　因此得到悬臂梁的位移导纳

　　其中惯性矩的取值为：在 xoy 面内横向振动，即取对z 轴的惯性矩 I=w3t/12;在 xoz 面内横向振动，即取对y 轴的惯性矩 I=wt³/12。 如考虑结构内部损耗，须将弹性模量改成复弹性模量，即 E=E(1+jη)，其中 η 为材料损耗因子。

　　根据式(13)，当1+chλ/cos λl=0 时，即发生共振，得到其共振频率为

　　2梁的有限元动态分析

　　为了使谐响应机械阻抗分析更具有针对性，首先进行模态分析，得到梁的固有频率及振型，再根据振型来确定谐响应机械阻抗分析激励方式。 这里以铝梁作为分析对象，其结构如图1 所示，相关参数如表2 所示。

　　在进行有限元分析前， 对悬臂梁进行建模;在其有限元素形式方面，采用线性立体单元(solid45)的架构;在元素分割方面，在长度上划分 100 等分，宽度划分 10 等分，厚度划分 4 等分，网格划分结果如图 1 所示;在载荷条件方面，在梁的一端施加自由度全约束，进行模态分析时，不需设定载荷，而在进行谐响应分析时，在梁的另一端施加简谐激励。