基于修正单纯形法的圆柱度误差优化评定

　　0 引言

　　随着现代生产对零件精度提出越来越高的要求,那么对于零件的形位误差评定也就显得尤为重要.其中圆柱度误差的评定就是一件比较复杂的工作,目前评定大多数采用最小二乘法,该评定方法计算简单快捷,但只能近似评定,不能保证按形状误差评定原则(即“最小条件[1]”)评定.包容评定法则能严格的按照最小条件进行评定,它包括最小区域法、最小外接柱法、最大内接柱法三种方法.三种方法的实质在于按不同的准则求出相应的理想要素,在数学上属于极大值极小化问题或极小值极大化问题,是线性规划的范畴.圆柱度误差评定算法的开发可归结为优化设计问题,而评定算法的关键在于提高运算速度,以满足通用、有效、准确的需要.本文提出了基于修正单纯形法的圆柱度误差评定方法,实际应用表明,该方法结果精确、运算速度快,且算法容易在计算机上实现.

　　1 圆柱度误差的评定模型

　　如图1所示,圆柱上各测点半径R与方位角H及高度z之间的关系为r=f(θ,z),在z=0的平面内旋转轴线偏离(-x,-y),沿两方向与原轴线分别倾斜α,β角.则圆柱上各测点到评定基准轴线的距离可以用下式表示:

　　其中,p=(θ,z);q^T=(x,y,α,β);j(p)=[cosθ,sin,zsinθ,zcosθ]^T;p为形成变量,表示圆柱表面形状所需的独立变量;q为描述变量,表示确定评定基准轴线位置所需的独立变量;r(p)为测量数据,它是形成变量p的函数;j(p)为p的矢量函数.基于测量评定圆柱度误差的两点假设[2](小偏差假设和小误差假设)可推导出圆柱度误差的理想数学模型.

　　对于确定的q值,用函数R(q)表示极大值点到评定基准的距离,用函数R(q)表示极小值点到评定基准的距离,它可表示如下:

　　式中:P为形成变量p的测点集合,iI{1,2,,,n};n表示被测点的数目.

　　按最小区域法评定圆柱度误差,实质是寻找q=(x,y,α,β)^T,使极差函数为极小.可写成:

　　式中:Δ(q)为极差函数,Q为q的可行集;q不受约束,即(m为q的维数,m=4),当极差取得最小值时,达到最小区域,极差极小值$(qc)就是圆柱度误差(的一半).

　　对于圆柱度误差评定,往往还需求其内、外作用表面.最大内接柱称为内作用表面;最小外接柱称为外作用表面.

　　最大内接柱评定实质是极大值极小化问题

　　最小外接柱评定实质是极小值极大化问题

　　根据圆柱度误差数学模型,并利用线性规划的标准模型[3]可以得出圆柱度评定的规划模型.圆柱面上的被测点以坐标(θi,zi)来表示,其中Hi为转角参数,zi为轴向坐标,它们决定了采样点位置,设Ri为采样点处测得的半径值,则有:最小区域法评定