具有弹性支承输流管道的稳定性和临界流速分析

　　很多学者已经对各种输流管道的稳定性作了较为深入的研究,他们针对输流管道的特点,采用不同的简化模型进行假设.例如,对于细长比较小的输流管 道,通常采用的是Timoshenko梁模型假设,而对于细长比较大的输流管道,通常采用的是壳模型来处理.基于梁模型,根据边界条件的不同可把输流管道 分为两大类:悬臂管和两端支承管.对于这两类的输流管道的稳定性,前人已经得出了很重要的结论,即悬臂输流管道在定常流作用下会导致颤振而动态失稳.两端 支承的输流管道在定常流作用下会导致静力屈曲而静态失稳, PaidoussisMP等分析和讨论了悬臂输流管道在定常流作用下失稳的振动特性[1].Holmes用Lyapunov直接法严格证明了两端固支或两 端简支输流管道在定常流作用下不会发生颤振失稳[2].包日东等研究了两端弹性支承输流管道静态失稳和动态失稳临界流速,得到了管道动力稳定性随弹性支承 的变化规律[3].金基铎等研究了固定约束松动对输流管道稳定性和临界流速的影响[4].

　　本文是以细长比较小的输流管道为研究对象,把输流管道简化为梁模型,利用李兹-伽辽金方法研究了中间固定支承位置一定时(距管道左端0.7l),左端具有弹性支承的输流管道的稳定性.

　　1　具有弹性支承梁的固有特性

　　如图1所示,具有弹性支承的等截面直梁,单位长度的质量为ρ,截面弯曲刚度为EI,长度为l,左端具有弹性支承,弹簧支承刚度为k,在固定支承处将梁分为两部分进行考虑,设xj(j=1,2)表示梁横截面位置坐标,其中0

　　梁的运动微分方程[5]为

　　由分离变量法得到梁的振型函数[5]为

　　式中:p为弯曲振动梁的固有频率,aj、bj、cj、dj(j=1,

　　2)为相应坐标的积分常数

　　边界条件:

　　将边界条件分别代入式(2)中,得方程组:

　　由积分常数aj、bj、cj、dj(i=1,2)有非零解,令ξb=xb/l,经过无量纲化处理,得到频率方程:

　　式(5)是关于未知量β的超越方程,用数值方法如两分法可得到系统的各阶特征值βi,把βi代入式(3)可求出系统的各阶固有频率.将式(4)代入式(2)中,经过整理和化简后,可得到具有弹性支承梁的振型函数:

　　式中:

　　2　输流管道的运动微分方程

　　如图2所示,具有弹性支承的输流管道,根据力学原理[6-7],并考虑Kelvin-Voigt粘弹性管材、管内流体压力效应和管截面的轴向作用,以及左端弹性支承.其输流管道的运动微分方程为

　　式中:y为管道轴线偏离平衡位置的位移,x为管道横截面位置,EI为管道的抗弯刚度,a为管材粘弹性系数,M单位长度流体的质量,m单位长度管道的质量,U为管道内流体的流速,P流体的压力, t为时间,k为弹簧支承刚度.