液压伺服系统的非线性最优控制

　　液压伺服系统的古典控制方法是传递函数法,即在工作点附近取小增量进行线性化,以拉普拉斯变换作为数学工具,在频域和时域内进行控制系统的分析与设计。该法物理意义明确、计算简便、直观、便于实验,而且控制器的设计具有鲁棒性等优点,在实际中得到广泛应用。但它仅适用于SISO(单输入单输出)线性系统,而且在分析系统大扰动稳定性和大给定的动态品质时,采用此小干扰线性化方法控制效果不够理想。液压伺服系统是典型的非线性系统(主要的非线性是阀的流量方程),必须采用非线性控制方法才能进一步提高其性能。

　　近20年来非线性控制理论有了突破性的进展,特别是以微分几何为工具发展起来的精确性化方法[1,2]。它与传统的利用泰勒(Taylor)展开进行局部线性化方法不同,在线性过程中没有忽略掉任何高阶非线性项。因此这种线性化方法不仅是精确的,而且是整体的(它包含所有的状态信息,是全维状态反馈)。本文直接利用液压伺服系统的仿射非线性模型,采用微分几何精确线性化方法和LQR理论,给出最优反馈控制,并进行数字仿真。

　　1　液压伺服系统的物理方程

　　电液位置伺服系统的物理方程为:

　　设状态变量为x1= y,x2= y·,x3= pL,输入变量为电压u。则状态空间表达式为:

　　式中

　　式(2)对应的仿射非线性系统的标准形式为:

　　其中x∈Rn是状态变量,u是输入变量,y是输出变量,f、g是Rn上充分光滑的向量场[1]。

　　对于仿射非线性系统(3),可采用状态反馈的方法来实现系统的精确线性化,从而将非线性系统控制问题转化成线性系统控制问题,称之为非线性系统的状态反馈精确线性化[1~3]。

　　2　状态反馈精确线性化

　　根据非线性系统状态反馈精确线性化的有关定理[1,2],可利用同胚映射:

　　及反馈控制:

　　其中Lfh(x),Lgh(x)表示函数h(x)对向量场f和g的李导数,v为新的输入,就可将仿射非线性系统(3)化为线性系统:

　　由式(4)、(5)、(6)和(8)可求得:

　　3　具有α稳定度的LQR最优控制

　　系统(9)是能控且能观的SISO系统,可采用线性二次型最优调节器(LQR)的方法。线性二次型最优控制具有工程性,可以得到解析形式表达的线性反馈控制规律,是最优控制理论及应用中最成熟的部分。

　　设性能指标为: