自动控制理论 第二章 控制系统的数学描述 2.2 传递函数(4)

渐近线与实轴的交点为

　　(3.153)

式（3.153）可以表述为

（所有开环极点之和-所有开环零点之和）/n-m

4.根轨迹的对称性特征方程的根不是实数就是共轭复数，所以根轨迹对称于实轴。在绘制根轨迹时，只需绘出上半平面的部分，根据对称性，下半平面的部分很容易绘制出来。

5.实轴上的根轨迹实轴上的开环零点和开环极点把整个实轴划分为若干线段。这些线段是不是根轨迹的一部分，可以根据幅角条件来判断。只有其右边开环零极点总数为奇数的线段，才能满足根轨迹的幅角条件。所以说，实轴上的根轨迹是那些右边开环零极点个数为奇数的线段。6.根轨迹的分离点与会合点两支根轨迹从开环极点出发后相遇又分开的点称为根轨迹的分离点。两支根轨迹相遇后又分开各自趋向终点的点称为根轨迹的会合点。在分离点或会合点上，特征方程必有重根。分离点或会合点可用下面的方法求取。系统的特征方程为

即

上式可简化为

式中A(s)和B(s)是不含可变参数K的表达式。解方程

　　(3.154)

即可求出分离点或会合点。但方程（3.154）的解不一定都是分离点或会合点。经检验，这些点若在根轨迹上，则为分离点或会合点。若不在根轨迹上，此时对应的K一般为负值，则不是分离点或会合点。绝大多数分离点或会合点都分布在实轴上。实轴以外的分离点或会合点则以共轭复数形式成对出现。7.根轨迹的出射角与入射角系统存在复数开环零点和开环极点时，必须知道根轨迹从开环复数极点出射的方向或进入到开环零点的方向。出射角（入射角）是根轨迹在开环复数零极点上切线的方向角，可以根据根轨迹的幅角条件求出。根据式（3.150）可得

　　(3.155)

　　(3.156)

上两式中为出射角，为入射角，和是所有开环零极点（不包括所求的零极点）指向所求开环复数极点或开环复数零点的矢量与实轴正方向的夹角。8.根轨迹与虚轴的交点s平面的虚轴是控制系统稳定与不稳定的分界线。根轨迹通过虚轴，系统的稳定性就会发生变化。所以，确定根轨迹与虚轴的交点非常重要。根轨迹在虚轴上，则s=j,将其代入特征方程