自动控制理论 第二章 控制系统的数学描述 2.2 传递函数(3)

式中是矢量与实轴正方向的夹角，是矢量与实轴正方向的夹角。我们称式（3.149）为根轨迹的幅值条件，式（3.150）为根轨迹的幅角条件。凡在根轨迹上的点都是系统特征方程的根，都必须同时满足根轨迹的幅值条件和幅角条件。这两个条件统称为根轨迹的基本条件。

3.9.3  根轨迹的绘制规则根轨迹法是分析控制系统的一种图解方法，正确地绘制出根轨迹图是进行根轨迹分析的基础。根轨迹图的绘制，并不要求求解特征方程，而是根据根轨迹的基本条件，导出一些简单实用的法则，画出根轨迹图形。绘制根轨迹的规则有：1.根轨迹的分支n阶系统的特征方程是关于s的n次代数方程，方程有n个解，所以系统的根轨迹有n条。也就是说，根轨迹有n条分支。2.根轨迹的起点与终点将式（3.148）写成

　　(3.151)

当K=0时，上式右边为无穷大，左边只有当s趋于时才会是无穷大。根轨迹的起点是K=0时的根轨迹，所以说根轨迹起始于开环极点。K趋于无穷大时的根轨迹，称为根轨迹的终点。从式（3.151）可以看出，时，方程右边为零，而方程左边只有在时才会为零。所以可以说根轨迹终止于开环零点。控制系统中，若n>m，m条根轨迹终止于开环零点，还有（n-m)条根轨迹则终止于无穷远处。这时因为，当时，由于n>m,同样有

3.根轨迹的渐近线终止于无穷远处的（n-m)条根轨迹，在时，沿渐近线变化。渐近线确定了终止于无穷远处的根轨迹的变化方向。渐近线与实轴正方向的夹角为

　　　　(3.152)