自动控制理论 第二章 控制系统的数学描述 2.2 传递函数(7)

 （7）与虚轴交点，将S=j代入特征方程。特征方程为

代入S=j并整理后得实部方程

虚部方程

解此方程组，得

图3.31是系统的根轨迹图。

图3.32 控制系统的根轨迹 图3.33 附加零点的作用

3.9.4  根轨迹法分析系统性能根轨迹法是一种图解方法。运用根轨迹法能够分析系统的稳定性和动态特性、稳定特性。根轨迹法在对高阶系统的分析中，可以根据闭环零极点的位置，较方便地确定参数变化对系统动态过程的影响，利用闭环主导极点的概念对系统进行近似分析计算。因此是一种很实用的工程方法。下面，我们通过一些实例说明根轨迹法在系统分析中的应用。例19  设某控制系统的开环传递函数为

分析该系统的稳定性并利用根轨迹法校正系统的稳定性。解  按照根轨迹的绘制规则，系统的根轨迹图如图3.32所示。由图可见，系统的两支根轨迹位于s平面右半边，无论K怎样变化，系统始终是不稳定的。若在系统中附加一个开环零点，该开环零点是位于0到-10之间的一个负实数，则系统的根轨迹就变成图3.33所示的形状。显然，无论K怎样变化，系统始终是稳定的。图3.32和图3.33说明，在适当位置上引入附加零点，可以使控制系统的性能得到有效改善。图3.33还表明，在s平面原点有两个开环极点，系统是型系统，对单位阶跃和单位斜坡输入函数响应的稳态误差为零。系统的单位阶跃响应，是衰减振荡过程。例20  单位反馈控制系统的传递函数为