自动控制理论 第二章 控制系统的数学描述 2.1 控制系统的数学模型(6)

上述状态空间表达式经线性变换，还可以变为如下的形式

而

所以

特征值为

这说明对于同一个线性定常系统，其特征值是唯一的。通过以上计算，系统的特征方程的3个根均为负实数，所以这个系统是稳定的。

3.8.3  劳斯判据按照线性定常系统稳定的充分必要条件判断系统是否稳定，必须求解特征方程。对于阶数较高的系统，求解特征方程并不容易。所以用系统稳定的充分必要条件直接判断系统是否稳定的方法并不实用。劳斯判据则不必直接求解特征方程，而是根据特征方程的系数，进行一些简单的代数运算，即可知道系统是否稳定，而且还可以知道系统有几个位于S平面右半边的闭环极点（即不稳定根）。1.  劳斯判据设线性定常系统的特征方程为：

　　(3.144)

式中是方程的系数，均为实常数。若特征方程缺项（有等于零的系数）或系数间不同号（有为负值的系数），特征方程的根就不可能都具有负实部，系统必然不稳定。所以，线性定常系统稳定的必要条件是特征方程的所有系数。满足必要条件的系统并不一定稳定。劳斯判据则可以用来进一步判断系统是否稳定。在应用劳斯判据时，必须计算劳斯表。表3.3给出了劳斯表的计算方法。劳斯表中的前二行是根据系统特征方程的系数隔项排列的。从第三行开始，表中的各元素则必须根据上两行元素的值计算求出。读者不难从表中找出计算的方法和规律。