自动控制理论 第二章 控制系统的数学描述 2.1 控制系统的数学模型(3)

　　(3.136)

即系统状态最终回到了原来的平衡状态，我们称这样的系统是渐近稳定的。对于任意给定的正数，如果不存在另一个正数，即在球域内的初始状态，在后，的轨迹最终超越了球域S()，我们称这种系统是不稳定的。图3.27是二阶系统关于李雅普诺夫稳定性定义的几何说明。

图 3.27 李雅普诺夫稳定性（a）稳定；(b)渐近稳定；(c)不稳定

图3.27（a)说明只要初始状态在的圆内变化，则系统的状态就不超出S()的圆域。这种情况定义为系统是稳定的。是给定的状态的偏差范围。或者说明=Ax解的偏差范围，而则是根据所确定的容许的初始状态的偏差范围。如果可以选得任意大，我们称这样的系统为大范围稳定。图3.26（b)说明，只要初始状态在的圆内变化，则随时间的增大，系统的状态最终会回到原点（即原来的平衡状态）。这种情况定义为系统是渐近稳定的。由图可见，渐近稳定情况下，，即稳定的条件更严格一些。或者说渐近稳定具有比稳定更强的特性，工程上要求控制系统稳定是指要求系统具有渐近稳定性。图3.26（c)是不稳定情况。x(t)的轨迹离开了圆S()。