自动控制理论 第二章 控制系统的数学描述 2.1 控制系统的数学模型(4)

3.8.2  线性定常系统的稳定性稳定性表明了控制系统在所受扰动消失后，自由运动的性质。线性定常系统的稳定性是系统的固有特性，与输入变量无关。我们只要讨论齐次方程的解即可。在控制工程中，只有李雅普诺夫稳定性定义下的渐近稳定的系统才能工作。所以，我们以下讨论的控制系统的稳定性都是指渐近稳定的系统。不是渐近稳定的系统都视为不稳定系统。线性定常系统的状态方程

　　(3.137)

式中A为n*n方阵。设系统原来的平衡状态为，在扰动产生了初始状态以后，系统的状态x(t)将从开始按下列规律转移：

　　(3.138)

如果对于任意初始状态，由它引起的系统的运动满足

　　(3.139)

那么，线性定常系统就是稳定的（李雅普诺夫定义下的渐近稳定）。线性定常系统稳定的充分必要条件是其系数矩阵A的特征值全都具有负实部。一个n*n矩阵的特征值就是方程

　　(3.140)

的根。这个方程称为矩阵A的特征方程。如果描述控制系统特性的是输入——输出微分方程，则对应的齐次方程的解可表示为

　　(3.141)

而系统的传递函数则具有以下形式

　　(3.142)

若方程的解在时间趋于无穷大时也趋于零，即

　　(3.143)

这说明系统在扰动消除后具有恢复到原平衡状态的能力。而满足式（3.143）的条件则是（3.142）式表示的系统的传递函数的闭环极点或特征方程的根具有负实部。如果特征方程的根有为零的根，则对应的项就会出现常数或等幅振荡，若特征方程的根有正实部的根，则对应的项随时间增大将越来越大。所以，线性定常系统稳定的充分必要条件还可以表述为：系统闭环特征方程的所有根都具有负实部。如果按照闭环极点在S平面上的分布来讨论稳定性，则线性定常系统稳定的充分必要条件是系统的闭环极点都位于S平面的左半边。对于单输入单输出的线性定常系统按系统状态方程和按输入——输出微分方程（或传递函数）得出的控制系统稳定的充分必要条件之间有什么关系呢？由于状态变量的选取不同，描述同一系统的状态方程可以有无穷多种，这叫状态变量的非唯一性。这些状态方程之间存在线性变换的关系。而这所有状态方程的系数矩阵A的特征值，则始终不变，这叫特征值的不变性。状态方程系数矩阵的特征值，就是相应的输入——输出微分方程（或传递函数）的特征方程的特征根。所以，控制系统稳定的充分必要条件的表述是一致的。例10  描述控制系统的微分方程为