应用线性回归模型校准液压千斤顶

　　一、最小二乘法与线性回归模型

　　1、 最小二乘法的定义

　　在实际工作中，常常会遇到这样的问题：给出两个变量x，y的n组试验数据，怎么才能从中找出变量x、y的函数关系式呢？然后利用这个函数关系式对x与y之间的除了试验数据之外的其它对应情况作出某种判断。

　　这样的问题一般可以分为两类：一类是对x与y之间所存在的对应规律一无所知，这时要从试验数据中找出符合实际情况的函数关系式是很困难的，这类问题为黑箱问题；另一类是通过问题作出分析，然后再建立数学模型或者通过整理归纳试验数据，得出x与y之间符合某种类型的函数关系式，其中有m个待定参数，这些参数的值可以通过n组试验数据来确定，这类问题称为灰箱问题。解决灰箱问题的方法通常会利用到“最小二乘法”。

　　2、 最小二乘法在线性回归模型中的表示方法

　　上面我们已经说明了最小二乘法的数据全部来自于试验取得。在建立一元线性回归方程中，虽然有很多种不同的方法来求样本回归函数，但是在回归分析中最常用的方法就是最小二乘法。

　　如果变量x与y有精确的线性关系比如说y=kx+b，那么观测值与回归值是相等的。然而在实际工作中诸多变量的关系不一定都是如此，由于受到许多随机因素的干扰使得物与物之间没有那么明确的一一对应关系。那么我们就需要通过数学的方法来来使之对应。首先通过试验取得数据，其次把数据描绘出来。然后拟合一条跟已知的函数图像最为接近的曲线，这样就可以相对地将他们之间的关系表示出来了。在处理诸如此类的事件中常常应用到最小二乘法。

　　3、 最小二乘法的适用范围

　　（1） 本文所讨论的最小二乘法仅且只适用于一元线性函数，比如y=bx+a。

　　（2） 不适用于非线性函数和多元线性函数。

　　二、 最小二乘法的公式

　　为了定量地给出y=bx+a与实验数据之间线性关系的符合程度，可以用Pearson（皮尔逊）相关系数R来衡量。它的表达式为：

　　为了定量地给出 y=bx+a 与实验数据之间线性关系的符合程 度，可以用 Pearson（皮尔逊）相关系数 R 来衡量。它的表达式为：

　　相关系数R值在0< | R |≤1中，R值越接近于1，则x与y的线性关系越好。当R接近于0时，则实测数据点分散为非线性。所以我们必须找出一种方法来鉴别数据是否能使用拟合，判断的方法是| R |< 时，实测数据是非线性的。 称为相关系数R的起码值与实测次数n有关，如下表一所示。

　　表一：相关系数起码值 R0