圆度误差目标函数凸凹性的研究

　　1　引言

　　在用计算机求最小区域、最小外接圆和最大内切圆评定法求圆度误差时,广泛采用最优化算法,通过迭代去逼近目标函数的极小值。而各种最优化算法收敛的前提条件是所要搜索的目标函数在其定义域上只有一个极小值,即目标函数是单谷函数。如果目标函数在其定义域中有多个局部极小值,则最优化算法搜索到的值可能不是全局极小值,即不是所要求的圆度误差值。这将直接影响圆度误差评定数学模型和算法的可靠性及实用价值。这一问题已引起国内外一些学者的关注,并已开展了一些研究[1~3],但要圆满地解决这一问题还有待于进一步的深入研究。

　　本文运用凸集和凸函数理论严格地证明了圆度误差最小区域(MZC)评定法的目标函数是二维欧氏空间R2中连续、不可微的凸函数,因而它的全局极小值是唯一的。文中给出了实例。

　　2　数学模型

　　如图1所示,以测量时被测实际轮廓或测头的回转中心O为原点建立仪器坐标系XOY,在被测实际轮廓上均匀地取n个等角度间隔采样点Pi(ri,θi)(i=1,2,…,n),其中ri、θi分别为点Pi的极径和极角。设O1(a,b)为任一参考圆圆心,R为参考圆半径,O1O=e为参考圆圆心对回转中心的偏心,PiD=εi为点Pi对参考圆的径向偏差。则当e R时有[4]

式中:a=ecosα,b=esinα。设在点Pi处测得的半径偏差为Δri,可令ri=r0+Δri,r0为某一理想圆半径,于是被测实际轮廓上各采样点对参考圆的最大与最小偏差之差为

　　显然F是a、b的函数,记作F(a,b)。按最小区域评定法可得下列无约束最优化问题

　　函数F的极小点[a*,b*]T为符合最小条件的参考圆圆心,极小值F(a*,b*)为最小区域评定法圆度误差。

　　类似地,可建立圆度误差最小外接圆和最大内切圆评定法的数学模型,本文不再赘述。

　　3　目标函数的性质

　　若令fi(a,b)=Δri-acosθi-bsinθi,i∈I={1,2,…,n},则有

　　可以证明,函数F(a,b)是按片光滑函数,在二维欧氏空间R2中某些点处不可微[4]。下面论证F(a,b)的凸凹性。

　　下述两个定理是研究形位误差目标函数凸凹性的理论基础[5]。

　　定理1　设{fi(x)},i∈I,表示有限个或无限个

　　定义在n维欧氏空间Rn上的凸函数的总体。对每个x∈Rn,定义这个总体的点式上确界如下:

　　则f(x)是一个Rⁿ上的凸函数。

　　定理2　设{fi(x)},i∈I,表示有限个或无限个

　　定义在n维欧氏空间Rn上的凹函数的总体。对每个x∈Rⁿ,定义这个总体的点式下确界如下: