比塑性功求解线性载荷下简支圆板极限载荷

    圆板是机械工程、土木工程中常用的一种典型结构，充分发挥它的强度具有重要意义． 金属圆板在各种受力载荷下的塑性极限载荷的传统解法，其本质是联解平衡微分方程、屈服条件及不同支承的边界条件． Tresca 准则没有考虑到中间主应力的影响，计算结果偏于保守; Mises 屈服条件是非线性的，获得解析解困难，只能求得数值解或近似解析解［1 －6］．

    本文试图将与 Mises 非线性屈服准则非常逼近的线性 GM 屈服准则及其比塑性功表达式引入结构力学与土木工程中常见的典型结构—受线性载荷的简支圆板塑性极限载荷． 从能量的角度分析受线性载荷的简支圆板的塑性极限载荷，进而获得解析解，解法未见报道．

    1 GM 屈服准则及其塑性功率的证明

    GM 准则［7］又称几何中线( geometrical mid-line) 屈服准则，已在求解锻压矩形坯等材料成形领域［8］中获得应用，其表达式为

式中: σ_s为材料的屈服强度．

    GM 准则在 π 平面上的屈服轨迹见图 1、2． 图中双剪应力( TSS) 屈服准则［9］的轨迹和 Tresca 屈服准则的轨迹分别为 Mises 屈服轨迹的外切和内接正六边形． 可以看出，GM 准则为屈服轨迹误差三角形 B'FB 内非常逼近 Mises 轨迹的等边非等角十二边形［7］．

    比塑性功又称单位体积塑性功，为金属塑性成形功率泛函的被积函数． 文献［7］详细证明了GM 屈服准则确定的比塑性功( 单位体积塑性功)及功率表达式分别为

式中: ε_max= ε₁，ε_min= ε₃分别为发生塑性变形时受体积不变条件约束并按代数值排列的最大与最小主应变; D(ε_ij)，D·( ε_ij)为单位体积塑性功或功率．

    2 运动许可应变场

    周边简支的圆板的半径为 a，厚度为 2h，r 为变量半径，受线性载荷 q(r )= q₀r / a 作用． 计算简图如图 3 所示．

    由于圆板载荷和边界约束绕 z 轴对称，则 z向位移( 挠度) w 也绕 z 轴对称，其仅是 r 的函数，以位移函数表示的微分平衡方程方程为［10］

式中:为拉普拉斯算子; D =为薄板的弹性变形抗弯刚度; E 为弹性模量; ν 为泊松比． 当发生塑性变形时，由于体积不变条件的约束，ν 达到最大值 0． 5，抗弯刚度达到极限值( 最大值) ，即 D =

    简支圆板的边界条件为［10］