层合板在冲击载荷作用下本构方程的研究

　　1 引 言

　　复合材料梁、板、壳结构在应用中是否能充分发挥其性能优势在很大程度上依赖于动力性能，其中，低速冲击性能倍受关注。这主要是因为复合材料结构在使用期限内不可避免会受到低速冲击作用而且这类结构对冲击作用又十分敏感[1 -2]。

　　低速冲击问题的研究方法通常有实验方法、解析方法和数值分析方法。一些学者[3 -13]通过一些简化假设建立冲击力学模型，通过理论分析得到解析解，以较为简洁的形式给出有关物理量之间的关系。但为了数学求解能得以进行下去，除了对结构几何条件做出简化假设外，还必须对材料特性、破坏机制、运动状态做许多的限制和简化，因而有较大的局限性。对于复杂结构形式、冲击过程涉及几何、材料或边界条件非线性等低速冲击问题，一般采用数值方法。本文在前人研究的基础上，从接触问题出发，构建层合板在低速冲击载荷作用下的有限元方程，便于进一步研究复合材料的动态性能和复合材料结构的动态响应。

　　2 接触问题

　　2. 1 条件假定

　　设有一个复合材料板、壳结构( 域 ΩA) 受到冲击头( 域 ΩB) 的低速冲击作用，两个碰撞物体的接触面域为 ΓC= ΓA∩ΓB，ΓA是 ΩA的表面，ΓB是 ΩB的表面，如图 1 所示。

　　在 ΓC上构建局部坐标系( e^x，e^y，nA) ，使得 nA=e^x× e^y，并可知 nA为表面 ΓA点的外法线。同理，在冲击头 ΓB对应点的外法线为 nB。根据连续介质力学原理，接触约束可以表示为[14 -15]

　　1) 几何条件

　　t 时刻，两接触体的表面满足互不侵彻条件，即:

　　其中，Ф 表示空集，表示任取一个。同一整体坐标系中，两接触体对应接触点的位置矢量相同、外法线方向相反，位置矢量用 X 表示，即有:

　　2) 运动学条件

　　两接触体对应接触点的相互侵彻速率 γN满足不可侵彻性条件:

　　式中，u 和 v 表示位移和速度，上点表示该量时间导数，等号表示两接触体保持接触，小于号表示两接触体分离。

　　3) 动力学条件

　　接触面上，接触力满足动量守恒以及横跨接触界面的法线面力不能为拉力[3]:

　　显然，接触面力可分解为法线面力和切向面力，切向面力小于接触面摩擦力时，两碰撞体之间没有相对滑动; 反之，存在着相对滑移。

　　2. 2 基本方程

　　基于变分原理，忽略能量损失，考虑动量方程、面力边界条件、内部连续条件以及上述接触条件，冲击系统的动量变分为:

　　式中，下标中逗号表示对空间位置坐标求导，例如 σij，k= σij/ xk，字母上的点表示对时间求导，ρ 表示材料的密度，vi表示 i 方向的速度，b 表示体积力，q'表示面力( 接触区域之外) ，δ 为变分符号，q 表示接触压力，p 表示功率，Ω = ΩA∪ΩB表示整个系统，Γq= ΓAq∪ΓBq表示面力作用面，下标 n 表接触面外法向，α =1、2 表示接触切平面的两个方向，上标A 表示复合材料板壳，B 表示冲击头。