含区间参数结构的静态响应分析新方法

　　引言

　　现实中许多结构是工作在不确定性载荷环境下的,比如建筑物承受的风载荷、雪载荷、地震载荷及重力载荷等作用;此外,结构本身材料力学性能参数由于测量、间接计算等也带来一定程度的区间不确定性,甚至模糊不确定性;另外,结构物几何形状或拓扑上的不确定性也给后续有限元分析和计算及有关(解析)静力或动力分析带来不确定性参数。因上述原因,在利用力学原理或有限元方法分析结构响应时以及对工程结构进行可靠性优化设计时,必然会遇到区间参数线性方程组或模糊线性方程组的求解问题。由于模糊线性方程组可通过模糊分解定理转换为一系列不同截集水平下的区间线性方程组,因此区间线性方程组的求解是比较关键的。目前由于区间数学和模糊数学理论还在进一步完善中,而区间数或模糊数对减法运算和除法运算不具备可逆性,这种特点给工程问题尤其是非随机性(非概率性)不确定性线性方程组的分析求解带来一定的困难。目前人们在非概率不确定性线性方程组的研究方面做了一定的工作,取得了一些有价值的成果[1]195-197[2]21-26[3]142-145[4-7][8]303-304[9]21-33[10][11]86-90[12-15],这些成果在工程结构分析中得到一定程度的应用[8]303-304[11]86-90。其中,文献[1]195-197提出求解区间线性方程组的TOR(two-parameter over relaxation method)方法,给出TOR法收敛的充分条件。文献[2]21-26针对区间线性方程组提出不完全LU(lower-upper triangular ma-trix)块迭代法,该法包含块区间Gauss迭代法、块区间Jacobi算法和块区间Gauss-Seidel算法,但应用起来不是很方便。文献[3]142-145通过引入区间三角多分裂来包含题解集合的办法,提出求解区间线性方程组的并行多分裂算法,并讨论方法的收敛性、收敛速度和极限集合的性质。文献[8]303-304介绍的求解区间线性方程组的方法实际上是利用区间的四则运算规则和包含关系的单调性,因而存在着解区间扩大的可能性。文献[9]21-33利用区间四则运算的包含关系单调性提出区间(Gauss)高斯消去法、普通区间迭代法、解线性方程组的AOR(accelerated over relaxation method)方法(即区间Jacobi迭代法、区间Gauss-Seidel迭代法和区间SOR(successive over relaxation method)迭代法)和基于区间分解定理的区间迭代法,但是这些方法都基本上存在着解区间放大的问题。为此,文献[9]21-33分析了区间解扩张的原因,并针对性地提出区间扩张的截断处理办法、区间扩张的运算顺序处理办法、区间扩张的子区间摄动处理办法和区间扩张的子区间组合处理方法,这些方法都在一定程度上克服了区间解的扩张问题。综合现有参考文献看,目前对区间线性方程组的解法基本上都是利用区间数运算法则和区间分解的办法,再结合确定性线性方程组现有成熟的解法进行变型推广而来,存在的问题有这样两个,一方面是解区间扩大;另一方面理论性太强,需要验证方法适用性的条件太多,即它们的适用范围有一定限制。本文针对工程结构受载后的静力响应问题,在考虑结构本身和载荷本身不确定性的前提下,利用力学原理列出平衡方程组后,提出一种处理区间不确定性线性方程组的隐函数寻优求解新方法。该方法在不需要知道解的表达式的前提下,利用对分优化策略不断缩小搜索区间,得到解的递推迭代公式。该算法的特点是不仅物理意义明确、算法过程简单、编程容易、便于工程推广应用,而且解区间不扩大(完全依赖于不确定性参数的不确定性程度),同时适用于一般区间线性方程组的求解。算例结果表明算法的有效实用性。