旋转壳的自由振动分析

　　1　引　言

　　旋转壳在工程中有广泛的应用,因此,对其振动特性的研究具有重要的意义。但由于旋转壳的运动方程非常复杂,多数文献采用有限元求解[1-2]。有限元法由于采用低阶函数进行插值,仅适用于较低的频率范围。当结构参数发生变化时,有限元法还需要重新建模,计算效率较低。因此,研究人员又提出了一些半解析、半数值解法。1993年,蔡显新通过锥壳的计算公式导出了旋转壳的一阶微分方程组,提出了一种分析旋转壳自由振动的半解析方法[3]。然而,这种方法的精度较低,需要将壳划分得很细。近期,苏海东等首次导出了旋转薄壳的状态方程,并在此基础上建立了一种分析旋转薄壳动、静力特性的传递矩阵法,取得了较好的效果,证明传递矩阵法非常适合于这类结构的求解[4]。

　　本文根据经典的弹性薄壳理论,通过旋转壳的平衡方程、几何方程和物理方程导出了最一般情况下旋转薄壳的一阶常微分方程组。与文献[4]不同,本文在推导中考虑了扭矩在边界上的影响,将扭矩与剪力合并为Kirchhoff等效剪力,并将等效剪力作为控制方程的状态量,方便了边界条件的处理。同时,采用传递函数法的原理建立了旋转壳自由振动的特征方程,对旋转薄壳的自由振动进行了数值求解,分析了结构参数对旋转壳固有频率的影响。

　　2　旋转壳的一阶微分方程组

　　旋转壳如图1所示,其中,u,v,w分别表示子午线方向、周向和厚度方向的位移,φ,θ分别为子午线方向和圆周方向的弧角坐标,Rφ,Rθ为两个方向的主曲率半径,相应的拉梅系数为Rφ和R0=Rθsinθ。

　　设Nφ,Nθ和Nθφ表示中面上单位长度的薄膜内力分量,Qφ和Qθ为中面上单位长度的横向剪应力,Sφ和Vφ为中面上单位长度的等效面内剪力和等效横向剪力,Mφ,Mθ和Mθφ表示中面上单位长度的弯曲内力分量,qφ,qθ,qZ表示作用在旋转壳三个方向上的分布载荷。由弹性薄壳的理论可知,在谐激励作用下,旋转壳的平衡方程为[5]:

　　由板壳理论可知,旋转壳的基本方程一共有8个,相应的有8个状态向量。通常选取4个位移分量作为状态向量,因此,内力状态向量只有4个。然而,壳边上一般作用有5个内力。为了解决这一困难,本文按圣维南原理,将扭矩静力等效为Kirch-hoff等效剪力,可以写为[5]:

　　采用Reissner模型,旋转壳的几何方程为[5]:

　　其中:θφ=1Rφu-wφ,θθ=1R0vsinφ-wθ。为了简化推导,上式采用文献[6]的做法,认为扭率χφθ表达式中的两项近似相等,因此,χφθ≈2R0θφθ。

　　旋转壳的物理方程为[5]:

　　其中,K=Eh1-μ2,D=Eh312(1-μ2),h、μ和E分别表示壳的厚度、泊松比和弹性模量。