超静定梁变形计算的积分法

　　前言

　　梁弯曲变形的计算方法较多，主要有解析法和数值方法.积分法具有自身独立，能够获得挠曲线方程和转角方程的优点，不足是只能求解静定问题.叠加法较为灵活，适用于求特定截面的变形，不足是自身不独立.叶金铎[[1 ,2}先后提出了梁变形的固定端方法和通用方法，范钦珊[[3]用矩阵位移法求解了超静定梁的变形，叶金铎叫将有限差分法用于超静定梁的变形计算.目前还没有直接获得超静定梁转角方程和挠曲线方程的研究工作.

　　现行材料力学教材中对固体力学边值问题强调的较少，研究和应用超静定梁变形计算的积分法，对于帮助学生学习利用边界条件确定未知数，掌握固体力学边值问题的解题思想具有重要意义.

　　对于超静定梁，虽然多余反力未知，但是对弯矩函数积分时，多余反力并不参与积分，因此，可以采用积分法求解超静定梁的变形.与静定梁变形计算的积分法相比，超静定梁的待定参数不仅包括积分常数也包括待求的多余反力，可以通过静定基的边界条件，连续条件和多余约束的边界条件确定.

　　1超静定梁变形计算的积分法

　　如图1所示的超静定梁，其上作用有集中力，分布载荷和集中力偶，梁的抗弯刚度为EI，梁的分段数为。去掉B处的多余约束，得到静定基如图2所示.

　　多余反力设为FR、 MR由截面法可以得到分段的弯矩函数为

　　将弯矩函数代入挠曲线近似微分方程，得到

　　积分两次分别得到转角方程和挠曲线方程

　　静定基的边界条件和连续条件分别为

式(3)中包含2。个积分常数和2个多余约束反力，可以通过式(4),(5)确定.

　　2计算实例

　　2.1梁的结构和载菏如图3所示，梁的抗弯刚度为EI.试求B处的约束反力和梁的转角方程和挠曲线方程

　　解:静定基如图4所示、FB为多余反力.梁的截面弯矩为

　　将弯矩函数代入弯矩曲率关系，积分两次，得到转角方程和挠曲线方程

　　2.2梁的结构和载菏如图5所示，梁的抗弯刚度为EI.试求梁的转角方程和挠曲线方程.

　　解:静定基如图6所示，凡为多余反力.梁的截面弯矩为

　　将弯矩函数代入弯矩曲率关系，积分两次，得到分段转角方程和挠曲线方程

　　将积分常数和多余约束反力代入转角方程和挠曲线方程得到

　　3结论

　　(1)本文工作表明:积分法能够用于超静定梁的变形计算，属于力与变形的混合解法与梁变形的其他算法相比，积分法具有能够一次求出多余反力，转角方程和挠曲线方程的优点.