Hamilton体系下旋转刚柔耦合楔形梁有限元建模及辛算法

　　在实际工程中越来越多采用刚柔耦合结构,直接推动了刚柔耦合系统数值仿真向结构复杂性和数值稳定性方向发展。辛算法具有独特的计算稳定性与长时间的跟踪能力,可准确反映原系统本来面貌与结构特性,避免传统非辛算法带来的人工耗散和种种非系统本来具有的污染与干扰。Hamilton系统动力学的辛几何算法是冯康和Ruth首先提出的[1, 2]。系统的解是一个单参数的保测变换(辛变换),使离散化后的方程保持原有系统的辛结构,保持了一系列相面积和相体积守恒,能够长时间的保持计算结果的稳定性,而传统方法是一个耗散体系,如Runge2Kutta法,关于辛算法和非辛算法的数值计算比较可以参考文献[3]。

　　对于特定条件下正则形式的多体系统动力学方程的辛几何算法,目前有一些成果[4~6],主要是针对多刚体系统,在一定程度上解决了约束多刚体系统动力学数值计算问题。刚柔耦合系统的研究目前也取得了丰富的成果[7, 8],但有关于心算法的应用还不多见,特别是变截面柔性梁与刚体耦合系统很少有成果发表。由于辛几何算法能够保持正则方程的特性和长时间的数值计算稳定性,将此方法推广到一般的复杂刚柔耦合系统中具有非常大的意义。

　　本文首先建立带有质点的刚体2变截面柔性梁耦合系统动力学连续模型,通过有限元法得到空间离散动力学方程,然后将动力学方程导入到Hamilton系统,得到系统的正则方程。针对正则方程,构造二阶精度辛Runge2Kutta算法。最后通过仿真说明辛Runge2Kutta算法被成功的应用到刚柔耦合系统中。

　　1　刚柔耦合楔形梁系统及动力学模型

　　耦合结构如图1所示,楔形梁是柔性体,梁的末端还存在质点,假定质点质心与梁端部重合。系统的参数:柔性梁长度为L,中心刚体半径为R,端部质点质量为mt,梁密度为ρ,梁弹性模量为E,外部输入力矩为τ,系统旋转角度为θ。结构变形位移如图2所示。如图3所示,楔形梁两端界面尺寸为b1,h1和b2,h2。

　　系统的广义Hamilton原理为

　　式中:δT是系统动能变分;δV是系统势能变分;δW外部虚功。

　　楔形梁截面是随着轴X线性变化的,可得到梁中性轴上任意一点处正截面的面积A(x)和惯性矩I(x),均为x的函数。

　　面积A(x)表达形式为

　　式中:c1=(b2-b1)(h2-h1); c2=b1(h2-h1)+h1(b2-b1); c3=b1h1。

　　惯性矩I(x)表达形式为

　　式中:

　　系统的总动能表示为

　　式中:JH是中心刚体相对于轴O0Z0的转动惯量。在坐标系O02X0Y0中表示端部质量的位置矢量和速度矢量分别为R→t和R→·t。

　　系统的弹性总势能表示为