有初始缺陷梁在热状态下的混沌运动

    0　引　言

    随着现代工业的不断发展,许多工程结构元件都处于热状态下的工作环境中,因此工程设计人员对工程结构元件在热状态下的力学性态表现出极大的兴趣。由于温度分布不均所产生的热强度问题已成为工程中的重大问题,与结构寿命有关的热变形分析已开始在设计中占重要地位,工程设计人员越来越关注温度效应对工程结构元件振动的影响。但工程结构元件由于制造加工等原因,存在不同程度的几何缺陷。文献[1]等文献研究了完善梁板在热状态下的混沌运动,而关于有初始缺陷梁板在热状态下混沌运动的研究文献至今未见发表,主要是有初始缺陷梁板在热状态下的混沌运动要比完善梁板在热状态下混沌运动复杂得多。基于上述原因,本文对有初始缺陷梁在热状态下的混沌运动进行了研究。

    1　振动控制方程

    参阅文献[1]、[2]可以得到两端为不可移简支的有初始缺陷梁在热状态下的振动控制方程为:

式中,EI为梁的抗弯刚度,μ为阻尼,ρ为密度,A =bh为梁的横截面积,NT为热力,W为模振位移,W0为初始位移,Fcosωt为外扰力。取热分布为:

式中,αs为热膨胀系数。设横振位移及初始几何缺陷

在式(6)中令ε=0,通过复杂的数学计算可以求得同宿轨道为:

    其中,C为常数,由初始条件可确定。

对应于式(6)的同宿轨道的函数Melnikov为

    所以,由式(8)可以得到有初始缺陷梁在热状态下发生混沌运动的临界条件为:

式(10)即为完善梁在热状态下发生混沌运动的临界条件,这说明本文得到的有初始缺陷梁在热状态下发生混沌运动的临界条件是正确的。

    2　讨论分析

    为了讨论分析初始缺陷对梁在热状态下发生混沌运动区域的影响,取梁的计算参数为:

    l =1m,h=0.025m,ρ=7.8×10³kg/m³,E=2.1×10¹¹N/m²,αs=12.5×10^-6/°C,ω=374.58 rad/s

具体计算结果可见图1。

　　对图1曲线及计算公式进行分析可以得到以下结论:

    (1)当温度升高时,理想梁与有初始缺陷梁的f·η^-1-T₀曲线呈单调下降;即温度升高时,理想梁与非完善梁发生混沌运动区域将增大,这与文献[1]的结论是一致的。

    (2)随着m值的增大,即梁的初始缺陷程度增加,非完善梁的f·η^-1比值升高,这说明非完善梁的混沌运动区域越来越小。同时,在热状态下理想梁的混沌运动区域要比非完善梁的混沌运动区域大,这一点从图1中可以看出来的。

    (3)利用α的表达式可以计算出T₀=T₁时,有初始缺陷梁在发生热屈曲时的(T₀)cr=24.65n²°C,即n=1时,(T₀)cr=24.65°C,n =3时,(T₀)cr=221.84°C;这说明高阶振型的混沌运动区域要比一阶振型的混沌运动区域要小。