静刚性分布脉冲荷载下弹性半空间表面竖向位移

　　瞬态荷载作用于弹性半空间表面的波的传播问题已成为弹性动力学和工程技术领域一个广泛的研究课题。在国外，Pekeris[1]给出了垂直点源问题的一个代数形式的精确解。De Hoop[2]应用改进的Cagniard 方法研究了脉冲线源和点源作用下的标量波。Mitra[3]采用 Cagniard 方法求解了半空间表面作用圆形均布荷载时的瞬态响应问题。Norwood[4]也利用此方法分析了表面作用矩形分布荷载时弹性半空间的动力响应。Eason[5]用直接围道积分的方法解决了圆板荷载作用下三维轴对称问题。最近，Takemiya 和 Guan[6]，Guan 和 Novak[7]又将 Eason方法应用于表面条形脉冲荷载和突加矩形荷载作用下弹性半空间动力响应问题。

　　由于Cagniard 方法分析瞬态问题的有效性，Adrianus T[8―9]又将其推广应用于移动荷载作用在地基表面的竖向位移问题和固体内部存在粘弹性瞬态荷载作用于弹性半空间表面的波的传播问题已成为弹性动力学和工程技术领域一个广泛的研究课题。在国外，Pekeris[1]给出了垂直点源问题的一个代数形式的精确解。De Hoop[2]应用改进的Cagniard 方法研究了脉冲线源和点源作用下的标量波。

　　Mitra[3]采用Cagniard 方法求解了半空间表面作用圆形均布荷载时的瞬态响应问题。Norwood[4]也利用此方法分析了表面作用矩形分布荷载时弹性半空间的动力响应。Eason[5]用直接围道积分的方法解决了圆板荷载作用下三维轴对称问题。最近，Takemiya 和 Guan[6]，Guan 和 Novak[7]又将 Eason方法应用于表面条形脉冲荷载和突加矩形荷载作用下弹性半空间动力响应问题。

　　由于Cagniard 方法分析瞬态问题的有效性，Adrianus T[8―9]又将其推广应用于移动荷载作用在地基表面的竖向位移问题和固体内部存在粘弹性平面对线源激发的 SH 波的反射问题。值得注意的是，尽管有许多应力边值问题已被解决，但很少有文章论及半空间与刚性圆板的接触压力为静刚性分布(见图 1)的问题。此种反力分布形式是由Sung[10]于1953 年提出的，在国内学者金波[11―12]研究了静刚性分布脉冲荷载作用下地基对称轴线上和原点处的竖向位移问题，但其它方位的位移解答则被忽略。为此，本文应用经典的Cagniard-De Hoop 方法给出了静刚性脉冲荷载作用下弹性地基表面的竖向位移解答，使问题的求解更进一步。

　　1 控制方程、边界条件和初始条件

　　1.1 控制方程

　　1.2 初始条件

　　2 基本方程的积分变换解

　　由式(1)、式(2)可得：

　　用“—”代表Laplace变换，s为变换参数，用“～”代表 Hankel 变换，ζ 为变换参数，对式(2)、式(6)进行关于 t 的 Laplace 变换和关于r 的 Hankel 变换，并考虑零初始条件得到：