弹性地基上间断中厚矩形板的非线性振动

　　引　言

　　置于弹性地基上的矩形板在工程中有着广泛的应用,如公路工程中的刚性混凝土路面板结构、机场路面及高层建筑的基础等。不同边界条件下弹性基支板的力学特性已经引起了广泛的关注。V ESonzogni和S R Idelsohn采用优化的康托洛维奇方法[1],且对振型函数作出假设,分析了一边自由的变厚度方板的自振特性。A Bhaskar和P C Dumir用正交配点法得到了弹性地基上正交异性薄板的非线性振动方程[2],且应用迭代法求解了该非线性特征值问题。H T Saliba应用叠加原理分析了周边固支对称梯形板的横向自由振动问题[3]。梁兴复等构造了满足边界条件的多项式挠度函数[4],利用伽辽金法分析了弹性地基上矩形薄板的自由振动。肖勇刚等探讨了考虑地基耦合效应的中厚矩形板的非线性自由振动[5]。上述研究均涉及的是弹性地基上单块板的力学特性,工程实际中更多应用的是弹性地基上间断板结构,板与板之间靠传力装置连接。尽管Anant R Kukreti等对弹性地基上间断刚性路面板的线性振动特性进行了分析[6],但对弹性地基上间断板的非线性振动特性仍有待于进一步深入分析与研究。

　　本文基于Hamilton变分原理,采用Reissner中厚板理论,考虑地基耦合效应及板中的横向剪切变形效应,对双参数弹性地基上间断中厚矩形板的非线性振动问题行了分析,讨论了传力杆参数、板的结构参数和地基参数对弹性地基上间断中厚矩形板的非线性振动特性的影响。

　　1　非线性运动方程

　　考虑在横向分布荷载q(x,y,t)作用下置于弹性地基上的中厚矩形板(a×b×h),板上任一点的坐标由位于板中面的直角坐标系(x,y,z)确定。在分析中,引入下列假设:(1)板遵循Reissner中厚板理论;(2)弹性地基为各向同性的均质弹性半空间,中厚板与基层在接触面上位移保持连续。基层中沿z方向

　　在外载荷作用下传力杆的变形如图1所示。图1:δs表示传力杆在接缝间由剪力而产生的剪切变形;δc表示在外载荷作用下传力杆的板边变形。由文献[6]得当剪力为Q时,变形δs和δc分别为

　　式中　ds为缝口宽度,A为传力杆的截面面积,Gb为传力杆的剪切模量,Eb和Ib分别为传力杆的弹性模量和惯性矩,是反映传力杆与混凝土相对刚度的一个系数,其中db为传力杆的直径,kb是传力杆支座模量。

　　于是,当传力杆传递的剪力为Q时,其对应的变形为

　　对于受荷载作用的弹性地基上中厚矩形板,将边界的协调约束用弹簧来表示,并定义等效弹簧系数kd为传力杆产生单位变形所需的剪力。由式(3)可得