混合边界薄板的弯曲问题

　　关于综合边界矩形薄板的弯曲问题,许多学者已进行了较详细的分析,而对于混合边界矩形薄板的弯曲问题,则很少有人涉足此领域.文献[1]、[2]和[4]虽然研究了此类问题,但他们的方法只能求解局部固定简支矩形薄板弯曲问题,具有一定的局限性.

　　本文综合应用差分法和配点法,分析了混合边界薄板的弯曲问题.文中首先将薄板划分为几个子域,每一子域的基本方程则按差分法进行半离散化.然后针对每一子域,假设一个位移试函数,可得各子域的基本方程、边界条件和连续条件残值,最后采用配点法消除残值,由此求出问题的近似解.本文的方法属于分区分向半解析数值方法,不仅可用于求解各种混合边界薄板弯曲问题,而且可用于求解厚度有突变及材料有突变的薄板弯曲问题.

　　1　基本方程、连续条件和边界条件及其半离散化形式

　　1.1　基本方程

　　将图1所示薄板划分为n个子域,每一子域的左、右边界(x= 0,x=a)各只有一种边界条件(即综合边界条件).每一个子域的基本方程为:

　　1.2　连续条件

　　相邻子域在其连接边上,挠度、转角、弯矩和剪力应连续,即:在子域Ωj和Ωj+1的连接边,有:

将(5)式按差分法进行半离散,并将(3)式代入,可得连续条件残值:

　　将(5)式按差分法进行半离散,并将(3)式代入,可得连续条件残值:

　　1.3　边界条件

　　由于x= 0、x=a边的边界条件已满足,故以下只考虑y= 0、y=b边的边界条件.

　　1.3.1　简支边

　　2　按配点法求解

　　在薄板内的每一差分节线沿坐标x方向进行配点,将配置点坐标xp(p=1,2,…,M)代入上述各残值式中,可得总残值:

　　[R] = [RΩ　RC　RB] (8)

　　式中,RΩ为由(4)式确定的域内残值式,RC为由(6)式确定的连续条件残值式,RB为由(7)式确定的边界条件残值式(若边界为简支边、固定边或取半板计算的对称轴边,则无此边界条件残值).

　　令[R] = [0],可得一个线性代数方程组,求解此方程组,即可确定挠度函数,再由内力与挠度的关系即可确定板中内力.

　　参考文献:

　　[1]　陈政清,钟正华,熊祝华.四边简支部分固定矩形板的弯曲[J].固体力学学报,1984,(3):367-377.

　　[2]　梁广基,谭检秀.用离散型最小二乘法解混合边界矩形薄板的弯曲问题[J].华中理工大学学报,1988,(4):10106.

　　[3]　铁摩辛柯S,沃诺斯基S.板壳理论[M].北京:科学出版社,1977.

　　[4]　Kurata M. Bending of Simply Supported Rectangular Plates with Clamped Portions along Arbitrary Sections of theEdges[J].Ingenieurarchiv,Band 27,Heft 1960,6.