复合载荷下波纹管横向非线性弯曲摄动有限元法

　　1 引言

　　波纹管是一类子午线呈波纹状的复杂旋转壳。在管道系统中常用来作为位移补偿器，补偿由于温度变化、地基不均匀沉降及安装误差引起的位移。在日常生活中用于排烟、排水的波纹管，由于所的受压力很低，对位移的要求很容易满足，以至似乎不需要进行研究。然而，在电力、石油化工、火箭发动机、核潜艇等重要系统中使用的波纹管，大多同时承受较高的压力和较大的位移，要正确处理安全、压力和位移之间的关系并非易事。因此，波纹管问题一直为人们所关注^[1-8] 。但迄今为止，有关波纹管横向非线性弯曲问题的分析还不多见^[9,10] 。文[9]和[10]提出了新的小参数，发展了非线性摄动有限元法，其理论计算和实验测量较为一致。遗憾的是，长期以来板壳在几种载荷联合作用下的非线性弯曲摄动问题是困难的[11]，文[9]和[10]只能分别考虑纯弯矩和横向力的作用，还不能计算诸如自重和液体压力联合作用的问题。本文在文[9]和[10]的基础上，提出解决这一困难的方法，即先将各种载荷化为节点载荷并保持不变，称为参考载荷，再将其公共系数1 摄动展开，由此划分载荷的级别、建立各级载荷和相应位移的关系。通过对含自重的 U型波纹管在注满水时横向非线性弯曲的位移和应力计算，可以看出，本方法是简便而有效的。

　　2 基本方程

　　考虑一旋转薄壳[9]，受体力、面力及边界力作用，材料符合 Hooke 定律，几何非线性关系由Sanders[12]中小转角方程确定，采用非轴对称截锥壳单元，控制方程和边界条件可表为

　　其中，d 为节点位移向量，R为(等效)节点力向量，K 为结构刚度矩阵(非线性问题中是 d 的函数)，Bd为边界上已知节点位移组成的向量(为计算简单起见设为0 )。

　　我们用摄动法求解方程(1)，取结构环向应变均方根λ 为小参数[9]，即

　　这里，en 为结构的总单元数，kA 为壳单元的中面面积， v 为壳的环向位移，r 为壳中面到旋转轴的距离，vN 是形函数矩阵 N 中与 v 相对应的子矩阵。设节点位移向量的展开式为

　　式(4)表示等效节点力向量 R按常规有限元法生成后保持不变，而各阶R⁽¹⁾ ，R⁽³⁾ ，R⁽⁵⁾ ， 由1⁽¹⁾ ，1⁽³⁾ ，1⁽⁵⁾ ， 与 R 的乘积表示。事实上，

　　比较式(4)和式(5)，得

　　须指出，如果将 R中的各分量分别展开，再建立各分量之间的关系式，将是非常繁复的工作，难以求得问题的解。

　　将式(3)、(4)代入(1)、(2)，由等式两边λ 的同次幂系数相等，可以得到下列各组问题：