周边固定大长宽比矩形薄板挠度的实验研究与计算公式

    薄板挠曲变形数学模型建立与求解方法的研究一直在不断地发展。从G.R.Kirchhoff对薄板小变形的研究,S.Timoshenko,E.Reissner等考虑剪力对变形的影响,建立中厚板理论[1,2],到更精确的三维弹性理论、非线性板壳理论,求解方法不断发展。这一方面的文献很多,不一一列举。文献[3～6]对考虑轴向力和大挠度变形下的板和梁的解法进行了研究,得到了很好的结果。由于问题的复杂性,简单的数学模型及其解析解由于假设条件多而误差大;精确的数学模型会有求解计算的困难。对周边固定大长宽比受均布载荷的矩形薄板的挠度变形计算,目前工程手册及教科书中仍以文献[1]中的公式为主要的理论计算依据。对于长宽比大于3的矩形薄板,该公式中的系数α=0.028。作者对周边固定的支承状况进行了实验研究,确认上述公式的计算结果与实验结果有明显的较大误差。为此,作者对该问题进行了理论分析,并给出了本文的计算公式。新公式的计算结果与实验结果吻合贴近,误差甚小,具有理想的计算精度。

    1　实验装置与实验结果

    实验装置如图1所示。气室的长边为b=170 mm,短边为a=60.06 mm。为了实验数据的确和可靠,采用了U形管压力计,精度可达10 Pa,采用百分表测量薄板中心的位移ymax,精度可达0.01 mm。在N处的气室与矩形薄板的接触面上,边缘不倒角,淬火并磨光,以保证受均布载荷时,支承的性质不变和薄板的平直。压紧螺钉将薄板固定压紧,保证气密性和薄板在受压时不会在气室和压条之间滑动。

    在实验条件下,针对不同的板厚度0.34 mm,0.44 mm和0.54 mm,分别作了3组实验,并用传统的计算公式进行了计算。结果如图2所示。图中实线代表公式的计算结果。二者的误差较大。造成这种误差的原因是:原公式假设板的变形是小变形,并忽略板中性面的变形,即忽略板中性面的拉伸应力。

    2　固定支承矩形薄板的力学模型

    图3(a)中是长边为b、短边为a、厚度为h的矩形薄板。对于大长宽比(b/a>2),并受均布载荷的情况,对板中心挠度的影响,主要是短边起作用[1]。因此可以简化为受均布载荷的梁,如图3(b)所示。约定向下为挠度坐标y的正方向,与变形的方向一致。当受图示的线均布载荷q(N·m-1)作用时,可列出静力平衡方程如下:

解这一超静定问题的两个补充方程是

    1)矩形薄板的挠曲线微分方程

    2)矩形薄板的轴向应变ε与轴向支反力RAx的关系。当矩形薄板中心的相对挠度ymax/h在一定范围内时,假设:①图3所示薄板中性面上的轴向各截面的正应力状态近似相同;②忽略横向正应力对板变形的影响;③忽略剪应力对板变形的影响;④板的变形在弹性范围内。在这些假设下,求出薄板的轴向伸长量,在弹性范围内,由应力和应变的线性关系,可得薄板的ε与RAx的关系,作为第2个补充方程。求解如下。