轴对称胀形双曲金属薄壳非线性静力分析

　　承受均匀内压，周边固定夹持的金属圆底双曲薄壳结构(图 1)，常被用于压力装置的超压防护，或完成某些特定的工艺操作。此外，还大量应用于板料成形工艺的液压成形中[1,2]。该类结构的壳体，由初始薄板鼓胀而成，其壁厚和曲率都呈非均匀变化。在结构变形过程中，存在着几何和物理的非线性耦合，直接求解十分困难[3~5]。目前，依然缺乏精确度高且便于计算的数学模型。

　　在大应变问题分析中，人们依然广泛采用Gleyzal[6]和 Weil 等[7]建立的变形几何关系[5,8]。但是，这种几何关系的导出，采用了 Taylor 展开近似处理，会增大求解的误差，甚至不能获得准确的收敛解。本文采用了适合于大应变问题的变形几何关系(基于不同的自变量选取)，结合相应的静力平衡关系和本构关系，建立了初值问题的微分代数方程(DAE)数学模型。通过实例进行了比较。

　　1 基本关系

　　根据结构及其受力特点以及大应变变形特征，作如下基本假设：只受薄膜应力;薄壳处于平面应力状态;略去弹性变形部分;在塑性变形阶段，材料体积不可压缩。

　　1.1 塑性应力应变关系

　　设材料的本构关系为

　　式中八面体剪应力和八面体剪应变分别与主应力和主应变的关系为

　　对于受拉伸金属薄壳，略去其厚度方向应力，设处于平面应力状态，即30zσ = σ= 。由 Hencky 变形理论、体积不可压缩假设以及 von Mises 等效应力、应变和八面体剪应力、剪应变之间的关系可导得(材料的泊松比取 0.5)：

　　按准静态分析时，多数金属材料的应力应变关系符合 Hollomon 模型

　　式中 A 和 n 分别称为材料的强度系数和应变硬化指数。

　　1.2 变形几何关系

　　采用柱坐标(r，θ，z)，取薄壳中曲面任一微线段进行分析(图 2)，该线段由初始平面内的直线段0 0 0P Q (dl )变为鼓胀过程中，任一时刻的曲线段PQ (d l )，线段长的平方分别为

　　初始平面内，任意微线段 dl0在鼓胀过程中的变形，可以分解为由其经向微元分量与其平行圆微元分量这两个矢量的伸长之和。于是，当仅研究经向微元变形时，有0dθ = dθ = 0;而当仅研究环向微元变形时，则有0dr = 0,d θ = d θ ,d u/ d θ= 0，dw / d θ = 0。于是，由式(8)和式(9)得

　　由此得经向应变和环向应变分别为

　　另外，由体积不可压缩假设式可导出薄壳厚度为

　　1.3 静力平衡关系

　　类似 Gleyzal[6]的分析方法，由半径为 r '= r +u极顶区域薄壳 z 向的静力平衡关系(图 3)有