基于逆迭代法的结构动力缩聚技术

　　1　引　　言

　　随着需要进行动态分析的结构复杂程度的提高和人们对它们动态特性要求的增加,结构动力分析的时间和费用也急剧地上升。为了解决该问题,人们提出了各种各样的模型降阶方法。动力缩聚法作为一种模型降阶方法,由于其是在物理空间内实施坐标减缩,因而已被广泛地应用到系统的特征分析、试验-分析模型的相关工作、故障诊断、动力修改、参数识别、振动的主动控制和有限元建模等许多领域中。

　　自从Guyan[1]和Irons[2]于1965年首先提出该方法以来,人们对此进行了大量的研究,提出了很多有效的方法。动力缩聚法可分为单步法(如前面提到的Guyan/lrons法以及文[3]总结的各种改进缩聚法)、两步法[4]和多步方法。迭代法是一种具有代表性的多步法,由于该方法是通过迭代来提高缩聚精度的,因此就精度而言,该方法优于前两种方法。

　　文^[5]首先较完整地提出动力缩聚的迭代求解方法,但该文是针对标准特征问题而言的,对于广义特征问题则需要通过对质量矩阵进行Cholesky分解和对分解后的矩阵求逆,将其转化为标准问题。文[6]对此进行了推广,使其能直接应用于广义特征问题。文[7]对IRS法引入了迭代技术,得出迭代IRS法。文[8]提出一种基于矩阵广义逆的迭代方法,在通常情况下该方法的精确稍高于前面一些方法,但其计算量较大。

　　已有的动力缩聚迭代法[5～8]主要存在以下三个缺点:其一是,迭代收敛速度较低,尤其是当降阶模型的特征对逼近精确值时,其收敛速度极低;其二是,迭代格式的收敛性证明非常困难,因此到目前为止还没有文献报道这方面的研究;其三是计算量较大,尤其是当主自由度数较大时。

　　本文从逆迭代法出发,导出了一种有限元模型动力缩聚矩阵的控制方程及相应的迭代求解方法。由于该控制方程中不包含降阶系统的任何信息,因此我们没有必要在每次迭代中都去计算降阶系统的各参数,从而达到减少计算工作量的目的。从本文的推导过程中可以看到,就计算思路而言,本文的迭代方法和特征分析的子空间迭代法是等价的,故收敛性可从理论上得到保证。本文的最后通过一数值示例把文献[5～8]中的方法与本文的方法进行了比较。

　　2　动力缩聚矩阵的控制方程

　　设某结构经有限元法离散后的刚度矩阵和质量矩阵分别为K和M,假定它们对称正定(当刚度矩阵半正定时,可通过移频技术来解决)。该系统的总自由度为n,把它分为主自由度(以m表示)和副自由度(以s表示)两部分,前者将保留在降阶系统中,后者将被缩聚掉。基于该划分,系统的刚度矩阵和质量矩阵可用分块的形式表示为