圆板大挠度的样条函数解法

     一、基本方程及边界条件

    均布压力作用下圆板轴对称大挠度方程为:

式中r(0 r a)为圆板的半径,h为圆板厚度,w为挠度,q为横向荷载强度,D为圆板的抗弯刚度,为弹性模量,μ为泊松比,φ为应力函数。

    引入无量纲量:,则方程化为相应的无量纲方程

    二、问题的求解

    方程(1.b),(2.b)是变系数非线性微分方程,对于它们的求解采用配点法,取三次B样条函数为试函数,为此将x的域分为n等分,分结点数的编号依次为0,1,……n,再虚设两个结点

……n+1)为待定的常数,由三次B样条函数性质得:

    式(1.c)—(8.c)共2×(n+3)个代数方程,足以确定2×(n+3)个特定的常数{Bi}、{Ci},(i=-1,0,……n+1),本文采用迭代法求解以上非线性方程(1.c)—(8.c),{Bi}、{Ci}求得之后,由式(c)可得,常数c由边界条件W x=1=0确定。根据三次B样条函数的性质,利用求得的系数{Bi}、{Ci},(i=-1,0,……n+1),可得板的薄膜力和弯曲力。我们编制了一个通用程序,根据边界条件,配点数目,及荷载类型,计算机可自动形成非线性方程组,采用牛顿迭代法解非线性方程组。精度规定:对每一方程其残数≤10^-10。

    三、算例及说明

    下面列举出两个算例,并和文献中的结果作了对比。文献〔1、3〕使用摄动法,文献〔2〕使用能量法中的布勃诺夫·伽辽金

    例1:均布荷载下的圆板

    在下表中,文献〔1〕是以中心挠度为摄动参数,是低阶摄动的结果,文献〔2〕所用方法存在收敛范围小的弱点,故都会影响到计算结果的精确性,因此某些结果与本文有较大差别。

    例2:均布边弯矩作用下的简单支承板

    由下表可看出,文献〔3〕给出的结果具有反常现象(中心簿膜力(σr)c为负)。

    我们计算了这些情形下的许多例题,均获得了满意的结果。此文的方法与摄动法,能量法及有限单元等方法相比,具有收敛范围大,精度高,运算工作少等优点,且程序使用简便,通用性强,因此分析板的非线性是很有效的。

    参考文献

    1　钱伟长,叶开沅.圆薄板大挠度问题,物理学报,1954,10卷3期,209～238.

    2　沃耳密尔.柔韧板与柔韧壳,北京,科学出版社,1959.

    3　黄择言.弹性圆薄板在均布边缘力矩作用下的弯曲,物理学报,1956,12卷6期,597～606.

    4　秦荣.结构力学的样条函数方法,广西,广西人民出版社,1985.

    作者：张凌云　侯朝胜