机械系统中接触问题的几个力学模型的研究

　　在工程结构中,系统往往可分成几个永久或非永久联接在一起的部分,这些部分之间的力是靠它们之间的接触、挤压,甚至冲击来传递的,在力学中概括为接触问题。物体接触问题的研究,主要在于通过各种方法获得两物体的接触边界状态和接触力的分布状态。

　　对接触问题的研究传统上主要以Hertz接触理论为基础;从50年代后期至今,随着计算机的出现和发展,人们提出了各种适用而有效的数值计算方法,如有限元法,边界元法和数学规划法等。其核心是泛函、变分原理和最小势(余)能原理。

　　就接触问题的研究对象而言,接触问题可归纳为两类:一类是物体间局部区域的接触问题,可称之为小变形、小位移接触问题(如图1所示轮齿的局部接触),目前对接触问题的研究大多集中于这一类;第二类是以机械系统为研究对象,将接触联接看作机械系统的一部分来进行研究,在这种情况下,即使材料处于弹性区域,由于系统整体变形的作用,接触面间也可能发生较大的相对滑移,因此可称之为小变形、大位移接触问题。当人们更注重系统的总体位形而非局部接触应力的精确分布时,这种以系统为对象的接触问题研究思路将更具现实意义,例如研究齿轮传动中瘦长轮齿啮合时的重合度问题等等。

　　针对以上问题,本文将着重阐述三种求解接触问题的计算方法,并简单分析其各自的特点。其他有关接触问题的论述可参阅文献^[1] 。

　　1　一类基于势能泛函增量的有限元法

　　该法主要以势能泛函增量最小为基础,以节点位移增量作为基本未知量描述接触问题。在迭代过程中将K步作为K+1步的参照系。将接触边界条件(包括接触体间不嵌入条件和摩擦条件)代入势能增量泛函后,应用变分原理,可获得接触问题的力学模型。用Newton-Raphson法求解,即可求得接触体的位形^[2] 。

　　1.1　互不嵌入条件

　　如图2所示,假设将两相互接触的物体分为主动体A和被动体B。划分网格后,为描述接触互不嵌入条件,假设在迭代过程中物体A上的节点E可能与物体B上的边界ij相接触,节点E将移动到e点,用ΔqE→e表示E的位移,同理E点在ij上的可能接触点(假设为垂点)F的位移为ΔqF→f,因此E点的位移可写成

　　式中,ΔqE→F为迭代前E点到F点的初始间隙矢量;Δqf→e为F点与E点在切线方向的相对滑移,其中ΔqE→F=h;ΔqF→f=[N]ΔqB,式中[N]表示F点的形函数矩阵,ΔqB表示物体B上整体节点位移矢量;Δqf→e=t·Δqs,t表示F点的切线矢量,Δqs表示E与F点的相对滑移。将以上三式代入式(1),可得