悬垂缆线的非线性振动

　　引　言

　　悬垂缆线在工程中有着广泛的应用,如超高压输电线、悬索结构中的缆索和桥梁的拉索等。它们的振动常常引起结构的破坏,造成严重的经济损失。因此,对悬垂缆线非线性振动的研究对工程结构有重要的意义。缆线在重力作用下成自由悬垂状态。静态曲线是在铅垂平面内的一平面曲线。由初始垂度引起的非线性使其力学特性变得很复杂,悬垂缆线的运动由非线性微分方程描述。有很多文章研究缆线的振动。Irvine[1]提出了具有初始挠度缆线自由振动的线性理论。Rega[2]提出了缆线的非线性动力学,研究了对称和非对称的振动模态的幅频关系。Luongo[3,4]用摄动法研究了几何非线性对电缆线自由振动的影响和频率响应。Xiao[5,6]研究了无阻尼和有阻尼时悬垂缆线的面内非线性强迫振动。

　　本文讨论具有初始挠度的悬垂缆线在面内谐振力作用下的非线性振动。通过Hamilton原理导出非线性运动微分方程,用多尺度法研究悬垂缆线的主共振、超谐波共振和次谐波共振,得到了系统定常周期解、平均方程和幅频曲线。研究了非线性对幅频曲线的影响和定常运动的稳定性。

　　1　运动方程

　　考虑两端支承在相同水平的弹性缆线,静态平衡曲线在铅垂平面oxy内。缆线的横截面积,长度和单位长度的质量分别由S,l,m表示,缆线材料的弹性模量由E表示。缆线的垂度与跨度比d/l为5%左右。纵向位移和横向(铅垂方向)位移u(x,t)和v(x,t)都是小量。缆线的静态曲线由正弦函数y=dsin(πx/l)表示。忽略纵向惯性力,由Hamilton原理导出悬垂缆线铅垂面内运动偏微分方程[5,6]。

　　假设缆线的横向位移v(x,t)=dsin(πx/l)η(t),在垂直平面内简谐力F(t)=KcosΩt,并引入适当的无量纲化量,对方程(1)实施Galerkin运算,可得无量纲化的运动常微分方程

　　2　振动分析^[7]

　　由于恢复力包含平方和立方非线性项,系统不仅有激励频率接近固有频率的主共振,而且还会出现激励频率接近固有频率整数倍或分数倍的次谐波共振和超谐波共振。用多尺度法分析系统(2)在简谐力作用下的非线性振动。为了分析这种情况,我们指定激励的量级,使得它和解的自由振动部分同时出现。还需要指定阻尼及非线性的阶数,使它们同时出现在摄动方程中。

　　将方程(4)代入方程(3),并使所得方程两边ε的同次幂系数相等,得到如下微分方程组

　　由此可见,除了Ω≈1时系统出现主共振外,当Ω≈1/2,Ω≈1/3,Ω≈2或Ω≈3时系统还会出现超谐波共振和次谐波共振。下面用多尺度法分析系统(2)在简谐力作用下的非线性振动,包括主共振、2阶和3阶超谐波共振以及1/2阶和1/3阶次谐波共振。