基于Wilson-θ法的动荷载识别

　　随着振动理论的深入发展，动态设计技术和方法已经逐步得到应用. 准确确定荷载是进行动力设计的前提，动荷载的确定在工程设计中起着越来越重要的作用. 另外，在机组动力学领域，开展机组振动荷载的动态识别，探讨振动的本源，进而对机组和基础振动进行有效的预测和控制，也具有重要的学术意义和实用价值.荷载识别是根据已知结构的动态特性和实测的动力响应反演系统所受到的动态荷载. 在结构动力学领域，动态荷载的识别方法主要分为频域法和时域法两大类[1]. 时域法发展得较晚，其基本思想是直接依据结构的响应时程来识别未知荷载的时间历程，因其便于工程应用，从而受到工程界的欢迎. 文献[2]基于模态叠加法，进行结构动荷载时域识别，文献[3]基于 Newmark 方法，进行了高速铁路振动荷载时程的动力反分析.

　　本文基于求解动力反应的 Wilson-θ 法，进行动荷载反分析方法研究，推导了相关公式，并通过实例对提出方法的进行了验证.

　　1 求解动力反应的 Wilson-θ 法

　　Wilson-θ法是在线性加速度法的基础上发展的一种数值积分方法[4].对一个结构进行有限元离散化形成的多自由度体系，其运动平衡方程为：

　　其中：[M]，[C]，[K]分别为节点质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵;分别为 t 时刻节点加速度、速度和位移向量;{P｝t为节点荷载向量.Wilson-θ法假设加速度在时段[t，t+θΔt]内线性变化，在 t+θΔt 时刻求解，可得多自由度体系或有限元体系 Wilson-θ 法逐步积分公式为[4]：

　　2 基于 Wilson-θ 法的反分析方法

　　对递推公式(2)中第 1 式：

　　在每一微小的荷载步内，可以视为线弹性问题，根据叠加原理，方程式(5)的解为方程式(6)和方程式(7)的解的和，即：

　　在 t+θΔt 时刻，由式(9)可知，{P*｝t为 t 时刻的节点荷载向量，为已知量，求解式(7)可得到位移分量{u″｝t+θΔt.

　　为求P_t+θΔt，在节点i 上单独施加单位节点动荷载，则有

　　其中：n 为结构上作用有动荷载的节点数;P_it+θΔt为t+θΔt 时刻第i 个节点处施加的动力荷载;λⁱ_t+θΔt为荷载系数.

　　由于为已知的单位荷载，求动荷载P_it+θΔt的问题就成为求荷载系数λⁱ_t+θΔt的问题.

　　将方程式(6)写为

　　求解上式，可求得 t+θΔt 时刻在节点i 上单独施加单位节点力时相应的系统位移响应. 再根据式(11)，方程式(6)的解满足下列线性关系式：

　　设有 m 个测点，若已经测出其加速度响应，根据 Wilson-θ 法的假设，有