复合对称层合板特征问题的灵敏度分析

    0　引　言

    在许多诸如航空、航天和汽车等工程结构中,复合材料层合板有着日益广泛的应用。人们可以预先设计复合材料层合板,使之满足工程上的各种要求。因此为了改进结构的刚度,减轻重量,增加承重等,对结构进行优化设计是非常重要的。其中,结构相对于设计变量变化的灵敏度分析是结构优化设计中的关键一步。

    工程结构中的均质,各向同性材料的动力灵敏度计算,已有许多的研究成果[1]。然而,对复合材料层合板的动力灵敏度分析,已发表的研究成果较少。这是由于影响复合材料层合板动态特征性的因素很多且很复杂。Pederson研究了特殊正交矩形层合板的灵敏度计算和优化问题[2],Reiss等人讨论了对称角铺设层合板的最大频率设计问题[3]。最近,Matens及其合作者使用3结点18个自由度的三角形单元的有限元模型,给出了复合材料板壳类型的结构相对于纤维铺设角和从中面到第K层板上表面的距离的灵敏度计算公式[4]。

    从文献[2]-[4]可以看出,作者们均是基于克希霍夫理论来计算层合板(壳)的灵敏度的。然而,由于复合材料层合板的横向剪切模量较低,因此基于克氏理论而计算的层合板的特征解误差较大[5],必须采用一阶剪切变形理论以及高阶理论[5,6,7,8]来计算层合板的特征问题及相应的灵敏度问题。另一方面,不仅从结构优化而且从结构的局部修改和结构的可靠性角度出发,在计算复合材料层合板的灵敏度时,只将纤维铺设方向和从中面到第K层板上表面的垂直距离Zk-1作为设计变量是不够的。本文的算例表明,层合板各层的平均密度对特征值也有相当的影响,是不能忽视的。

    本文采用层合板的一阶剪切变形理论,不仅将纤维铺设方向和从中面到第K层板上表面的距离Z_k-1视为设计变量,而且将层合板的材料参数(如弹性模量、泊松比和材料密度等)也纳入设计变量中,给出了对称层合板特征值和特征向量的灵敏度计算公式。最后,列举了两个数值例子以证明所给出公式的正确性。

    1　对称层合板特征问题的灵敏度计算

    考虑一个其厚度为h,各层厚度为hi(i=1,2…l,l为层合板的层数)的对称层合板,如图1。采用层合板的一阶剪切变形理论,由于层合板在横向振动时,厚度方向的变形很小,因而假定沿层合板厚度方向的正应力及正应变为零,计入板横向剪切变形影响的一个较简单的作法是假定板变形前垂直于中面的直线变形后仍然是直线,但它不再垂直于变形后的中面。

    在这里考虑层合板中面存在伸缩和剪切变形,再考虑一阶剪切变形理论,那么对于对称层合板的变形由五个广义位移来描述,分别是板中面的面内位移u⁰,v⁰,全板挠度w及中面法线的两个转角α,β。由以上假设有中面外任一点位移为: