三维梁单元的弹塑性切线刚度矩阵

　　非线性有限元方法是对结构非线性分析的行之有效的方法之一,在运用有限元对结构进行分析时,计算刚度矩阵十分重要.有文献已给出了仅考虑几何非线性的空间梁单元的刚度矩阵,但是对于考虑空间梁的双重非线性的弹塑性刚度矩阵的表达式及其计算式还没有见到具体的列式.为此,本文在文献[1]的基础上,推导了三维梁单元的弹塑性切线刚度矩阵并给出了具体计算式,为杆系结构的非线性有限元程序编制提供理论基础和具体实施的技术路线.

　　1　空间梁的弹塑性矩阵推导

　　基本假设:a.梁为双轴对称等截面杆件;b.截面翘曲忽略不计;c.杆件材料为弹塑性材料,各向同性强化;d.梁可经历任意大位移及转动,但本身的变形仍然是小的(小应变).空间梁内任一点的应力状态σ={σ11,σ12,σ13}T,梁的应力应变关系式为

式中,为梁的弹塑性矩阵,它是删除三维连续体的弹塑性矩阵Dep[1]的第五行和第五列元素而得到的

　　由梁内力状态知:dσ22=dσ33=0,可以凝聚掉“自由度”dE22和dE33.将式(1)改写成

　　由此将D^ep由5×5的矩阵转换为3×3的矩阵,这就是空间梁的弹塑性矩阵.

　　以上是考虑剪切应力的空间梁的弹塑性矩阵.若不考虑剪切的影响,则经过类似的推导,梁的弹塑性矩阵仍可用式(3)表示,只是其中各符号的具体内容有所改变[1].

　　2　空间梁的弹塑性切线刚度矩阵

　　梁单元eij端点位移

　　对于空间梁,仅考虑一个正应变和两个剪应变.相应的Green应变[3]

　　选取梁轴线上点的位移模式:

　　上述位移与结点位移ue之间的关系可以用梁两端的边界条件确定,用矩阵形式表示,有

　　引入矩阵符号

　　利用式(5)和梁端边界条件可得到形函数

　　利用式(6),(8)和(9)可得到各应变-位移转换矩阵Bx,By,Bz,Gy,Gz,G<的具体列式[1].考虑到一般用增量形式求解非线性问题,在文献[1]中,已推得:D$E=(BL+BNL)D$ue,且有定义

　　针对空间梁,对应U. L列式,有$Eij=Eij,故由式(4)和(8)可得相应的线性矩阵BL和非线性矩阵BNL的计算式及表达式如下:

　　如果不考虑剪切的影响,则

　　考虑梁的双重非线性情况,根据有关非线性有限元理论,并结合空间梁单元的特性,可得到空间三维梁单元的弹塑性切线刚度矩阵[1].

　　U. L列式的坐标系下

I,N-,yI,N-,zI]T,I为3×3阶单位矩阵;塑性矩阵由Dp=De-Dep计算;BL,BNL和Dep由式(10),(11)和(3)计算;KeT为梁单元的弹塑性切线刚度矩阵;Ke0为小位移刚度矩阵;KeR为初应力刚度矩阵;KeL为大位移刚度矩阵;KeR为载荷矫正矩阵.