三种载荷共同作用三边固定一边简支的矩形板

　　引　言

　　在工程技术中,弹性薄板的弯曲问题具有重要实际意义。对于三边固定一边简支的矩形板,文献[1]应用叠加原理研究了均布载荷、静水压力分别作用下的弯曲问题。本文应用功的互等定理进一步研究在均布载荷、静水压力与该板上任意一点有一集中载荷共同作用下三边固定一边简支的矩形板的弯曲问题,给出了该问题的精确解。

　　1　三边固定一边简支的矩形板的挠曲面方程

　　取在一流动坐标(N,G)点处有一单位集中力作用的四边简支矩形板为基本系统,如图1所示;取三边固定一边简支、受均布载荷、静水压力与该板上任意一点(x0,y0)处有一集中载荷共同作用的同一矩形板为实际系统,如图2所示。对于实际系统图2,解除三个固定边的弯曲约束,它们被分布弯矩

　　所代替,如图3所示。在基本系统与实际系统之间应用功的互等定理,则可得到作为实际系统的矩形板的挠曲面方程为

式(4)右端相应六项分别以W′₁、W₂、…W₆表示,可得

　　由文献[2]的式(2.3)和文献[3]的式(2.11),可分别得到

　　当η≥y0时,在应用式(8)时,b-y0必须以y0代替,η以b-η代替,注意到文献[4]的式(4),可分别得到

式中αn=nPa/b,βm=mPb/a。将式(6)～(11)代入式(5),便得到三边固定一边简支的矩形板的挠曲面一般方程。

　　2　边界条件

　　挠曲面方程式(5)必须满足下述边界条件:

　　为此,必须做一系列相应的计算,并且将一部分相应量表达式的双曲线函数展成三角级数。经整理,最后得到

　　至此,我们得到一无穷线性联立方程组(13)～(15),据这些方程,能够计算出系数An、Bn和Dm,进而能够分别算出挠度、内矩分量、内力分量和内应力分量。

　　3　算例

　　作为数例,实际系统为三边固定一边简支、分别受均布载荷、静水压力与任一点(x₀,y₀)集中载荷P作用的矩形板。对于这三个算例,取a/b=1,L=0.3,x0=y0=0.5a,系数An、Bn和Dm各取20个,经过计算分别得到图4、图5和图6。表1为本文解与文献[1]的对比。

　　[参考文献]

　　[1] Timoshenko S, et al. Theory of Plates and Shells[M].McGraw-Hill Book Company Inc., New York, 1959

　　[2]边宇虹等.分布面力下四个角点被支承的矩形板弯曲[A].工程力学(下册)[M].北京:北京科学技术出版社,1992

　　[3]边宇虹.在一集中载荷作用下斜边自由的三角形弯曲[J].应用数学和力学,1997,18(7)

　　[4]边宇虹等.弯曲矩形板的广义位移解及其边界值[J].工程力学,1997,14(1)