受压缺陷矩形板振动分析

　　0 引 言

　　薄壁结构的振动问题由于在航空和造船等结构设计中的重要性一直倍受关注。完善壳板的振动分析已进行了大量卓有成效的研究[1],缺陷壳板的承载能力与缺陷的关系也有了非常深入的认识[2-4],但目前缺陷壳板的振动问题在理论和试验研究方面显得还不够充分。当今航空、船舶结构越来越向轻型化发展,结构在加工成型过程中不可避免地存在着残余变形和残余应力,准确、高效地预报缺陷板壳的振动对于结构的抗振设计显得更为紧迫、实用。

　　承受轴压并考虑残余变形影响的矩形板的振动分析目前主要采用Galerkin法和Ritz法进行求解[5-7],通过数值计算来分析轴压和残余变形对矩形板振动频率的影响。

　　在本文中作者采用一个简易高效的分析方法研究受压缺陷矩形板的振动问题,给出了矩形板振动频率和轴压、残余应力与残余变形关系的一个显式表达式。讨论了焊接残余变形和残余应力对板的振动频率的影响。通过对计算实例的分析,并与试验值的比较表明,本文的方法具有相当满意的精度。文中给出的结论对于薄壁结构振动预报具有一定的指导意义。

　　1 受压缺陷矩形板的后屈曲

　　考虑如图1所示矩形板,板的长度为a,宽度为b,厚度为h,长边为X方向(纵向),短边为Y方向,在X方向的面内压缩载荷为

式中W、W*为板的总挠度和残余变形;F为应力函数;M为泊松比,D为弯曲刚度,D = Eh3/2C;R0为正方形板分支屈曲应力,R0=4P2D/b2t;vX、vY为X、Y方向的端部缩短。则Karman板方程可化为如下无因次形式

单位端部缩短为

　　1.1完善板

　　首先采用奇异摄动法求解无残余变形和残余应力的完善矩形板在轴压载荷作用下的后屈曲问题。为此将解作如下渐近展开

对于纵边可移简支

　　λ₀为分支屈曲载荷。后屈曲平衡路径是稳定的(λ₂>0),板在发生弹性屈曲之后仍然处于稳定的平衡状态。

　　1.2缺陷板

　　其次,在完善板后屈曲解的基础上,讨论具有残余变形和残余应力的缺陷矩形板总挠度和轴压载荷之间的关系。

　　对于薄壁结构中的矩形板格,根据测量结果,残余变形可表达为如下级数:

　　本文仅取上式中与分支屈曲模式一致残余变形分量进行讨论。已有研究结果表明该残余变形分量对矩形板后屈曲平衡路径的影响最为显著[8,9]。经过式(1)的无因次化后该残余变形分量可表达为:

典型的矩形板由焊接导致的残余应力分布如图2所示,表达为

式中η为未知挠度参数;