端点系有集中质量的弹性杆振动问题

　　文献[1] ~ [4]对一端固定,另一端系有集中质量的弦的振动问题的解法比较复杂,计算量也比较大.本文提出一种方法,只要作一个简单的变换就能将边界条件化为斯-刘本征值问题所要求的第1类、第2类或第3类边界条件,新的定解问题的本征函数系{Xn(x)}为正交完备的函数系,问题大为简化.

　　1 一端固定,另一端系有集中质量为M的弹性杆的振动问题

　　定解问题为:

其中: 为材料的杨氏模量, S为杆的横截面积.

　　令v(x, t) = u_x(x, t),得到v的定解问题.

　　(3)式两边对x积分,得:

　　以上u对x或t求偏导等的处理方法,对φ(x)、Φ(x)应有一定的要求〔5-8〕.结果与其它文献相同,但简便了许多.下面分析式子.

当x =0端固定, x = l端自由,即(7)式中M =0,则= (n-0.5)π (n =1,2,,),本征频率wn= =(n =1,2,,);而当M≠0时,上述超越方程的解可由数值解法或图解法求得.

　　所求的值为图1的余切曲线与直线交点的横坐标值,它分别小于(n -0.5)π,n =1,2,,.可见,当自由端系上集中质量M后各阶固有频率都比原来降低,且M越大直线斜率越大,固有频率降低越显著.

　　2 一端自由,另一端系有集中质量为M的弹性杆的振动问题

　　定解问题为:

　　从物理上看,无穷级数部分反映杆的振动,而与x无关的c(t)则反映端点带集中质量M的杆整体所作的匀速直线运动,故c(t) = A0+B0t.也可以从u的定解问题分离变数,其本征值问题当K=0时的本征解为A0+B0t得出c(t)的表式.

　　A₀、B₀分别为杆上各点和端点的集中质量M的初位移、初速度的平均值.若A₀、B₀不为零时,则杆整体以初位移A₀,速度B₀作匀速直线运动;而当杆与质量M原先静止地处于平衡位置时,则A₀=0, B₀=0,此时仅有振动部分.将式(11)、(12)、(15)代入式(14),得到:

　　当x =0端自由, x = l端也为自由端时(即上式中M=0),则= nπ, n =1,2,,,本征频率wn= = nπa/l, n=1,2,,;当M≠0,超越方程的解可由图解法得.

　　的值为正切曲线与直线交点的横坐标值,从图2可看到,它分别小于nπ,n =1,2,,.可见,当x = l端系有集中质量M后,系统各阶的固有频率都比原来降低,且M越大固有频率降低越显著.

　　3 两端均系有集中质量为M的弹性杆的振动问题

　　定解问题为:

　　分析式子:

　　若M=QSl,即端点的集中质量M等于弹性杆的质量,此时的值可由图解法求得.从图3可看到的值分别小于两端均为自由端时的值nπ, n =1,2,,,其相应的各阶固有频率wn=均小于l, n =1,2,,,而且M越大降低越显著.