带转动自由度的轴对称四边形单元

　　提高各类问题四边形单元的精度,一直是国内外学者重视的一个问题。由于四边形单元对网格的形状敏感性很大,材料接近于不可压缩时又出现闭锁现象,国内外学者提出了许多解决办法。最早是采用降阶积分,或者采用弯曲和剪切不同积分格式,这些办法经验性很大。接着采用了不协调内部自由度方法, Wilson[1]首先,引入不协调函数(1-N2)、(1-G2),但通不过分片试验,于是又提出了一些弱分片试验办法[2],使得构造了许多性能优越的单元。另外有的学者针对分片试验,提出一些条件,例如拟协调方法[3]、广义协调方法[4],文献[5]进行了一个简要的综述。Allman[6]等人引入角转动自由度方法是一种卓有成效的方法,使得单元的精度有所提高。许多学者应用各种方法研究了轴对称四边形单元,如Bachrach[7]和Sze[8]等。

　　1 协调位移场和附加位移场

　　Allman[6]提出的协调的平面问题三角形单元位移场为

　　其中,L₁,L₂,L₃为三角形的面积坐标,l_ij和为边ij的长度和外法线方向余弦,各顶点有三个自由度(u_i,w_i,ω_i)。此位移场在常应变单元的基础上,引入由各边的顶点角转动自由度(ω_j-ω_i)引起的附加位移场,此位移场在边界上产生法向位移,不产生切向位移。在其余各边上的位移为零,而此法向位移仅与ω_j,ω_i有关,因此保证了单元之间协调。很容易将此方法推广到四边形单元。

　　图1所示轴对称四边形单元其在顶点i包含有两个线位移u_i,w_i和一个转动自由度ω_i。于是每节点自由度为

单元节点自由度为

单元的位移由节点线位移自由度和角转动自由度插值的二部分位移之和组成,即

式中

而?u则是由单元角节点转动自由度ω_i(i =1,2,3,4)确定的位移,类似于Allman三角形单元,在边上,与两角节点转动自由度ω_j-ω_i有关,插值函数要求在其余各边为零,在边上仅与ξ或η相关,八节点等参单元边的中节点的位移函数,可以满足要求,于是?u^θ可表示为

其中

　　l_ij和为边长度和外法线方向余玄,由式(4)、(5)和(6)表示的位移场为协调位移场。

　　为了提高单元精度,引入用单元内部自由度表示的附加位移场{u_λ,w_λ}^T,其位移场为(ξ,η)的三次多项式,为了保证单元通过分片试验,采用了柱坐标下的广义协调条件[10],即