输流管道耦合振动问题的ALE方法研究

　　流体-结构相互作用(Fluid-Structure Interac-tion,简称FSI)是输流管道固有的力学特性。研究输流管道中FSI现象对了解输流管道系统动力学性态,稳定系统运行,提高运行可靠度,避免管道出现超常压力、应力、振动噪音等具有重要学术及应用价值。当前对于FSI动力学问题的处理主要集中在数值计算方面。在众多的方法中,ALE(Arbitrary La-grange-Euler)描述法[1-8]因其克服了纯拉格朗日描述和纯欧拉描述的缺陷而得到广泛的应用。

　　本文推导了基于ALE描述法的Navier-Stokes方程组,构造了基于Petrov-Galerkin格式的迎风有限元计算格式,将权函数和试函数选取为不同的形式,解决由于流体控制方程中非线性对流项带来的数值振荡,并在计算中流体区域内采用Newton-Raphson迭代格式求解非线性的N-S方程组。

　　1　ALE基本原理及流体域控制方程

　　在ALE描述下物理量F=F(ζ,t)的物质导数表示为:

　　式中:ci=Vi-Vi,为物质点相对于网格点的运动速度,即迁移速度或对流速度; Vi为物质点的速度; Vi为网格点的速度;X、x和ζ分别代表物质点、空间点和参考点。

　　设粘性流体流动占据着空间区域Ωf,其边界为Γ,则由ALE描述法的基本理论,根据式(1)可以推得,在ALE描述下粘性流动的N-S方程组为:

　　(1)运动方程:

　　(2)连续性方程:

　　(3)Stokes本构方程:

　　式中:ρ为流体的密度,kg·m-3;σij为Cauchy应力张量,kg·m-1·s-2;fi为体力向量,kg·m·s-2;p表示压力,kg·m-1·s-2;μ为流体的动力粘性系数,kg·m-1·s-1。

　　2　固体区域的基本方程

　　考虑管道壁在流体流动过程中的小变形,在不计阻尼影响的情况下,管道壁(弹性体)的基本方程[11]可由平衡方程、几何方程和物理方程等15个方程构成,其边界条件包含位移边界条件ui=ui(在Su上)和应力边界条件σijnj=fi(在Sσ上),其初始位移和初始速度均设置为零。

　　3　流体域控制方程的SU/ PG迎风有限元格式

　　将分量形式的运动方程(2)转换为矢量形式后,在物质域ΩX中积分,并利用二阶张量的性质及格林高斯定理,可得与其等价的积分形式:

　　其中T=[ΔV+VΔ]/2为形变速率张量, Vm是网格的运动速度,其具体形式可任意指定;δVa是对应于对流项的权函数,而δVv则为对应于体力和扩散项的权函数。该式表明:惯性力和粘性力的虚功率之和等于外力虚功率和。

　　同理可得连续性方程(3)的加权残数形式为: