求解内力图的新方法

　　绘制梁的内力图是工程力学教学的一个重点和难点内容,一般可用截面法分段列出梁的内力方程,然后根据内力函数表示的几何图形,通过求解某2个或3个控制截面内力值分段绘出梁的内力图.为了使内力图的作图过程更加直接、快捷,教材上又讨论了剪力函数、弯矩函数与荷载间的微分关系,给出了不同荷载作用下剪力图、弯矩图的大致特征及相互关系,但控制截面的内力需由截面法来求解.用截面法求指定截面内力必须经过:①用假想平面横杆件;②取脱离体,作受力分析图;③列静力平衡方程(组)求解内力等复杂步骤,而且每求1个截面内力,都需重复以上过程,工作量较大.对于初学者而言,如果不能熟练运用静力学基础知识,解题时极易出错.因此,笔者在教学中从微分关系入手,通过变形分析,推导出梁上各截面内力之间的积分关系式,避免了重复多次取脱离体、解平衡方程的麻烦,淡化了力学概念,简化了作图计算.

　　1　内力函数间的微分关系

　　在梁上任取长度dx作受力分析,如图1所示,列静力平衡方程式[1]

　　(1),(2)两式的几何含义是:剪力图线上各点切线的斜率等于梁上相应位置分布荷载的集度;弯矩图线上各点切线的斜率等于相应各点处截面上的剪力;即利用(1),(2)式可以判断内力图的形状或大致趋势.(3)式是二次微分关系,据此可以判断弯矩图坐标系,当时,弯矩图线为上凸曲线;反之为下凹曲线.

　　2　积分关系式

　　取梁AB的左端点A为坐标原点,建立x轴,如图2所示,设坐标为x1的截面处的内力已知,分别为Q(x1),M(x1),那么位于右侧x2截面上的内力可由(1)式变形后得到

　　(4)式表明,梁上某截面剪力值等于位于该截面左侧的某截面的剪力值与该段梁上分布荷载图形面积之和.

　　同理,可得相邻2截面上弯矩关系式

　　即,梁上某截面的弯矩值等于它左侧某截面的弯矩值与2截面间剪力图形面积之和.

　　如果计入集中力与集中力偶对剪力图和弯矩图的影响,可以推得梁上任意2截面的内力关系式[1,2]

　　式中:∑_pi为x1与x2之间梁段上作用的集中力的代数和,当pi向下作用时,取负值;∑_mi为x1与x2之间梁段上作用的集中偶矩的代数和,当力偶为顺时针转向时,mi取正值;q(x)方向向上时>0;剪力图位于基线上侧时>0.

　　3　作图方法说明

　　1.取梁的左端截面为坐标原点,过梁轴线建立水平向右x轴;

　　2.写出原点截面的内力值MA,QA;

　　3.由式(6),从左向右推求各控制截面剪力值;

　　4.利用微分关系判断相邻2控制截面间梁的剪力图特征,取剪力比例尺,作剪力图;