无摩擦状态下装配体稳定性的线性求解

　　0　引言

　　从线性求解的角度讨论了无摩擦状态下的装配体稳定性问题。并对零件间接触状态及接触力的等效问题作了有效的分析。

　　本文所有的论证和推导都是建立在以下定义和假设基础上的:

　　a.如果装配体在其内力和外力的作用下保持静止状态,那么我们就称该装配体是稳定的;

　　b.装配体为一个无摩擦的刚性物体集合;

　　c.在装配体中,至少有一个零部件被固定,并且初始状态时,所有的零部件都是静止的;

　　d.假定所有面面接触的接触区域均为多边形的形式。

　　1　零件间接触力分析

　　组成装配体的零部件形式各异,其接触方式也是千变万化的。为了更好地用线性方法判定系统的稳定性,必须对接触方式和接触力之间的关系作必要的分析。在装配体中常见的几何接触方式主要有以下几大类:

　　a.点面接触;

　　b.边边接触,其中又包括两边平行和两边不平行;

　　c.边面接触;

　　d.面面接触。

　　其中不平行的边边接触在装配体中是很少出现的,因此我们仅讨论其它的4种情况,分别由图1所示,由于未考虑接触状态中的摩擦力,因此它们均为线性接触。

显而易见,图1中力的作用点就是接触点本身,且力的作用方向为平面的法矢方向。而对于图1d中面面接触的物体,我们首先需要把分布力用一个等效力来替代。如图2所示,ri表示接触面上的一点,fi表示作用在ri上的一个分布力,假设最后的等效力的作用点为re,则求解re的x分量的力矩等效方程为:

　　由式(1)可推出等效作用点的x坐标:

　　同理,可以得到其它两个坐标值。上面的推导证明可以用作用在接触面某点上的力来替代整个接触面上的分布力。而特定点上的作用力又可以被作用在接触多边形顶点上的平行力来替代,最终所得到的作用力在力的大小以及力产生的力矩效应上是等效的,如图1中所标出的作用力。同理,对于图1c的边面接触产生的接触力也可以被作用在线段两端点的平行力来取代,其方向为接触面的法矢方向。最后我们来讨论接触状态为平行的边边接触。

　　由于不存在接触面,因而其接触力的方向也是不确定的,我们需要找到一个近似的接触面。由于接触力的方向与两物体接触的夹角有关,因此需要分析两物体接触角的状态。首先用一垂直于接触边的平面与两实体相切,可得到两实体的横切面,横切面的边形成两个对角,然后分别作两个对角的角平分线,此角平分线又形成一个新的夹角,称为接触角,最后根据接触角作出角平分面,此角平分面即为所需的平行边边接触的近似接触面,接触力的方向也即为该角平分面的法矢方向。在推导出平行边边接触的力作用方向后,同样也用作用在接触边两端点的平行力来有效替代边分布力。