挠曲线复位的微分方程解法求梁的位移

　　有多种方法求梁的位移。笔者找到了一种挠曲线复位方法,通过设置一比拟梁,并找出此比拟梁的挠曲线与原梁被比拟部分挠曲线的差异,经过在同一坐标系下的平移和转动,使比拟梁的挠曲线完全与原梁被比拟部分重合而达到求解的目的。由于比拟梁形如一悬臂梁,而悬臂梁在各类荷载作用下的位移较易记忆,故求解较为方便。求解过程中借用了一常微分方程进行计算。

　　1　证明

　　在梁支承之间的最大挠度处设置比拟梁的固支端,只经过w方向平移,便可使比拟梁挠曲线与原梁被比拟部分挠曲线完全重合(喻晓今,2002)。下面简略阐述在梁任一位置设置比拟梁固支端时,如何使比拟梁挠曲线还原成原梁被比拟部分的挠曲线。

　　不失一般性,从挠曲线方程表格中任取一种荷载作用情况讨论,例如取以下梁情形(图1),其挠曲线方程查文献(范钦珊,1998)有

　　在任意x位置设置比拟梁固支端,如在AC段x处设置(图2);取左段为比拟梁,则比拟梁上的力只有A端的支反力求出比拟梁的挠曲线方程:点相对于固支端的转角:由于事实上A点位于坐标原点,即wA=0,故将比拟梁挠曲线整体在w轴方向下移Δ距离,即按Δ位移的反向回退Δ,则A点回至原点;又由于A端原梁的转角为θA,现比拟梁有θ1,为了使挠曲线完全回原位,整体再绕A点转动角度θA-θ1,可得比拟梁固支端处在坐标中的实际位移:

　　上式就是原梁挠曲线方程,这时,比拟梁挠曲线与原梁被比拟部分挠曲线完全重合,类似地可推导右侧。

　　由其它梁荷载情形也可推得同样结论,这里不再赘述。依照叠加原理,数种荷载同时作用情况也符合此结论。

　　注意到上面有:θA-θ1= w′,w′即为固支端处实际转角,而w =-Δ+w′x恰为一阶线性微分方程,故可利用此方程解决w求解问题,其中解中参数C由边界条件、连续条件确定。例如,可在同一位置处设左、右比拟梁,列微分方程,用连续条件w1= w2,w′1= w′2来确定它们的C1,C2。

　　2　举例及结语

　　挠曲线复位的微分方程解法求图3梁AB段挠度。

　　(3)挠曲线回位。比拟梁整体向Δ反向平移|Δ|,使A支座原点重合,再整体绕A点转动w′=θA-θ1角度。

　　由此例可知,在无梁挠曲线方程表可查的情况下,此法不失为另一种计算梁位移的有效方法。

　　参考文献

　　范钦珊. 1998.工程力学教程(I)[M].北京:高等教育出版社,270.

　　樊映川等. 1964.高等数学讲义[M].北京:人民教育出版社,188.

　　喻晓今. 2000.几种荷载下的梁绝对值最大挠度的同一性[J].华东交通大学学报,17(2):40~45.