旋转结构非轴对称变形的有限元分析

　　旋转结构是工程中普遍采用的结构类型之一,其力学分析无论在理论上还是在数值上都一直受到科研工作者的关注.当旋转结构承受轴对称荷载时,其分析局限在子午面内,具有简单、方便的特点.当承受非轴对称荷载时,一般需要进行三维分析.充分利用旋转结构的特殊几何性质,将位移沿环向展开为Fourier级数,可以使问题得到简化.

　　1 基本方程

　　采用圆柱坐标系rHz描述旋转壳的变形是非常方便的.圆柱坐标系下弹性力学的基本方程如下[1].

　　1.1 几何方程

　　1.2 物理方程

　　对于各向同性的三维弹性力学问题,

　　其中,E为杨氏模量,v为泊松比.对于旋转壳,如图1示建立局部坐标系AHB,类似文[2]的方法引入壳的假定,容易得到局部坐标系下各向同性旋转壳的应力-应变关系,

　　上式中各物理量的定义类似式(2),材料系数矩阵中的元素如下:

　　K为常数,参见文[2],其它元素为零.(3)式经坐标变换后可得整体坐标系下的应力-应变关系,其形式类似于公式(2).

　　1.3 运动方程

　　圆柱坐标系下的运动方程为,

　　其中,ρ为质量密度,Fr,Fθ,Fz为体积力分量.

　　1.4 位移的Fourier展开

　　根据旋转结构的特殊几何性质,将位移沿H方向Fourier展开,

　　2 单元列式

　　采用4-8节点平面等参单元(壳单元沿中面方向需3个节点),单元位移可以表示为,

式中,[N]为插值形函数矩阵,其表达式可参见文[3]; 为单元节点位移矢量.将(7)式代入(6)式可得单元应变

　　将(8)和(9)式代入虚功方程,完成θ方向积分,利用三角级数的正交性质可得单元的运动方程

　　3 算 例

　　在自编结构分析软件USAP上添加了该单元,并应用于圆板的分析.算例1 一固支圆板,半径为a,在半径为b的区域内作用均布荷载.定义无量纲量

式中,w(V)为中点挠度,它为V的函数.wt(1)为V=1时的薄板理论解.图2给出了w(V)(纵坐标)随V(横坐标)的变化曲线.由图可见,由于考虑了剪切变形,计算值略大于理论解[4].

图2 w(V)随V的变化曲线图

图3 挠度随半径的变化曲线

　　算例2 一固支圆板,半径为a =10m,板厚为0.1m.在距圆心为b = a/2的任意点作用集中荷载p.为方便起见,θ从通过载荷作用点的半径算起.记w(r,H)为为挠度.定义无量纲量

　　图3给出了J(纵坐标)随r(横坐标)的变化曲线.其中,本文计算值取展开的前11项和.由图可见,数值解与薄板理论解[4]非常一致.

　　参考文献