移动荷载下离散粘弹性点支承长梁的有限元分析

　　1　问题的提出

　　运输领域中的结构,如桥梁、钢轨、轨枕、高架起重机、道路等,都受到移动荷载的作用.与其它的动力荷载相比,移动荷载随位置而变化.使得移动荷载成了结构动力学的特殊问题.很多学者对这一问题都进行了研究.在结构分析中,有限单元法是强有力的数值分析方法.Yoshida和Weaver[1]首次将有限单元法应用到移动荷载问题.Filho及Olsson[2-3]用有限单元法分析了单个移动荷载下简支梁的动力响应.文献[4]用有限单元法研究了移动荷载作用下变刚度弹性支承的动力响应.文献[5-8]运用传递矩阵法计算了多跨变截面梁(均为固定铰支座)的自然频率和振型,并运用模态叠加法分析了移动荷载作用下的动力响应.文献[9]运用模态法(mode method)计算了单个移动荷载下可动铰支座支承的无限长梁的动力响应.文献[10]用富里叶变换和拉普拉斯变换的方法研究了单个移动荷载下文克尔(Winkler)基础支承的无限铁路轨道的响应.上述部分结构的支承具有粘弹性特点,而前述的这些研究,都将梁视为弹性支承,未考虑支承的粘弹性特点.作者研究了单个和多个移动荷载作用下离散粘弹性点支承长梁的动力响应.把长梁、离散的粘弹性支座和移动荷载视为一个系统,利用弹性系统动力学总势能不变值原理[11-15]及形成矩阵的“对号入座”法则[12-15]建立该系统的振动方程组,用Wilsonθ法求解该振动方程组,得到梁的位移时程曲线.分析了梁的抗弯刚度、支座的粘弹性特性及移动荷载的速度对梁动力响应的影响.

　　2　系统振动方程组的建立及系统刚度矩阵、阻尼矩阵、质量矩阵及荷载列阵的形成

　　2.1　系统振动方程组

　　文献[16]对建立系统振动方程的3种方法:弹性系统动力学总势能不变值原理、Hamilton原理和La-grange方程进行了比较分析,指出了弹性系统动力学总势能不变值原理的正确性及优越性.由弹性动力学总势能不变值原理,建立的系统振动方程组如下:

　　式中,[M]、[C]、[K]分别为系统质量、阻尼、刚度矩阵;{¨q}、{.q}、{q}分别为系统加速度、速度、位移列阵;{F(t)}为系统荷载列阵.

　　2.2　单元划分和梁单元形函数

　　每个支承点之间的梁划分为一个单元,对于无限长梁,只需取有限长度分析即可,设所取的梁单元总数为n,则节点总数为n+1个,如图1所示.节点的位移为坐标轴内的竖向位移和转角位移,忽略轴向变形,则整个系统的未知位移参数为2n+2个.

　　考虑如图2所示等截面梁单元ij,它的长度为l,弹性模量为E,对水平轴的惯性矩为I.单元的节点力为剪力Q和弯矩M,单元的节点位移为线位移y和转角y′,图中的节点力和节点位移均为正.