弹性曲梁静态大变形数学模型及其数值解

    关于可伸长直梁(杆)的几何非线性模型及具体问题的求解可见文献[1~6].Stemple[3]和Antman[4]分别建立了可伸长梁在轴向压力作用下的过屈模型并给出了相应的解答.Filipich等[5]采用可伸长杆的几何非线性模型,针对9种不同应力-应变关系,研究弹性杆的过屈曲问题.Maretic[6]在分析半无限弹性地基上的一端固联弹性圆板的立柱结构的过屈曲时也考虑了轴线伸长效应.弹性梁(杆)的热屈曲问题是典型的可伸长梁(杆)的几何非线性问题.Coff-gin[7]采用椭圆积分法研究了两端不可移简支杆的湿热过屈曲问题.本文作者采用打靶法数值分析了弹性梁(柱)在多种边界条件下的热屈曲[8~10].然而,从文献调查发现,很少有人将轴线可伸长理论引入曲梁(柱)的几何非线性分析,尤其是考虑非保守载荷作用的情形.显然,此类分析在数学上具有很大的难度.本文拟在已有直梁分析的理论基础上[11],建立弹性曲梁(杆)大变形的一般数学模型,考虑轴向变形、初始曲率以及轴向变形与弯曲变形的相互耦合等效应,研究非线性方程的求解方法,提出实用的数值计算过程.通过对一端固定另一端自由,沿轴线作用均布切向随动载荷的半圆形曲梁的具体分析和计算,证明了理论和方法的有效性和可靠性,可为复杂形状构件的大变形分析提供分析模型和计算方法.

    1　几何分析

    考虑一等截面弹性平面曲梁(见图1).假设梁只发生平面弯曲变形,且变形满足Kirchhoff直法线假设,横截面的尺寸改变可忽略不计.变形前梁轴线上一点的直角坐标为C:(x,w0),弧长坐标为s0.其中,w0(x)为初始挠度函数.采用Lagrange方法表示梁变形后的位置.设梁在变形后,轴线上的物质点C移动到C′:(X,Y)=(x+u,w0+w1),弧长坐标为

如果假设轴线不可伸长,则有Λ≡1,ε0≡0.

    梁未变形时,与ds0平行的任意弧长元素可表示为

    ds =ds₀+ηdθ₀　(- h/2≤η≤h/2)            (4)

式中,h为梁横截面高度,η为梁未变形时横截面的局部坐标(与轴线垂直),θ0为梁未变形时轴线切线与x轴正向的夹角.线段ds伸长为ds*,夹角θ0变为θ=θ0+θ1,θ1为变形引起的横截面法线方向的改变.于是根据Kirchhoff直法线假设,可得几何关系:

    ds*=ds*₀+ηdθ=ds*0+η(dθ0+dθ1)         (5)

从而由式(1~5)可得梁横截面上任意的应变

式中,κ0为梁轴线的初始曲率,κ1为变形后轴线曲率增加.它们可分别表示为

式中,κ0为已知函数,可由初始挠度函数w0求得.变形后轴线的总曲率为

    2　物理关系

    若材料为线性弹性,考虑到梁受温度改变和机

械载荷共同作用,则有应力-应变关系: