考虑大挠度效应及初偏心的压杆稳定性分析

　　0引言

　　1744年俄国著名数学家欧拉首先提出了精确的柱子稳定理论.在他的稳定理论中作了四条假定:①压杆是由同一材料制成的等截面杆,杆端简支,横截面双轴对称,屈曲时不发生扭转;②杆轴理想挺直,荷载沿形心轴作用,且杆内无初始应力;③材料服从虎克定律:σ=Eε;④临界状态时弯曲变形足够微小,可以认为曲率:

　　欧拉得出理想中心压杆的弹性屈曲公式

　　实际工程中的轴心压杆总是存在各种初始缺陷,如初弯曲、初偏心,象欧拉理想中心压杆是不存在的.参考文献[1]、[2]及[3]采用曲率的准确数学表达式,基于大挠度理论对轴心压杆作了详细推导分析.本文旨在考虑大挠度及初偏心影响时,对压杆进行分析.

　　1考虑初偏心的压杆分析

　　如图1所示一悬臂细长压杆,受到的作用力N具有初始偏心e0.在分析前作以下两条假定:

　　①压杆是由同一材料制成的等截面杆,杆端简支,横截面双轴对称,屈曲时不发生扭转;

　　②杆内无初始应力,杆在弯曲过程中不缩短.

　　在图1所示的坐标系统下,悬臂细长压杆的随遇平衡微分方程为:

　　式中:1ρ—杆件的曲率; E—杆件的弹性模量; I—杆件截面惯性矩;N—偏心压力;y—杆轴挠度;e0—初始偏心值.

　　为便于求解,此处不直接采用曲率1ρ=y″1+(y′)2 3/2的准确数学表达式,而是利用曲率的定义———斜率对弧长的变化率来表达,即:

　　式中s是沿杆轴线的曲线坐标,θ是s处杆轴的斜率,将(4)代入(3),并令k2=NEI

　　对s微分一次并令dyds=sinθ得到:

　　方程(6)即为细长压杆大挠度弹性微分方程.对(6)积分,现将该微分方程乘以2(dθds),对变量s进行积分得出:

　　任意常数C由边界条件确定,即在力N与杆轴相交处的θ=θ0=常数,该处弯矩M =Ne0=k2EIe0,所以1ρ=-MEI=-k2e0=dθds代入(7)得

　　从而(7)变成:

　　即

　　由于导数dθds总是负的(即随s的增大而减小),所以式(10)只取“-”号可得：

　　三角变换:cosθ=1-2sin2θ2,cosθ0=1-2sin2θ02

　　代入式(11)得:

　　为了化简式(12)引入变量φ,令sinφ=2sinθ/24sin2(θ0/2) +k2e20,η=4sin2(θ0/2) +k2e20,其中η称为椭圆积分的模量.并由上式可见:θ从0→+θ0时,sinφ从0→11+k2e204sin2(θ0/2),即φ从0→arcsin11+k2e204sin2(θ0/2)=φ0,将2sin(θ/2) =ηsinφ微分可得到:

　　由式(11)积分得杆长l,并将(13)代入

　　又

　　将(15)代入(14)得:

　　式中K为第一类椭圆积分,且K(η2,φ0) =∫φ001ηcosφηcosφ1-η2sin2φ4dφ,φ称为椭圆积分的幅角.则此时压杆的压力公式由式(16) l =K/k =K EI/N得